Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12289 / 20365
↖ ↑ ↗
← S 40.019201°
W 44.989014°		 ← 935.57 m → S 40.019201°
W 44.978027°		 →
↑
935.45 m
↓
↑
935.45 m
↓
S 40.027614°
W 44.989014°		 ← 935.45 m →
875 126 m²		 S 40.027614°
W 44.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375045776367188 y=0.621505737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375045776367188 × 215)
    floor (0.375045776367188 × 32768)
    floor (12289.5)     		tx = 12289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621505737304688 × 215)
    floor (0.621505737304688 × 32768)
    floor (20365.5)     		ty = 20365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12289 / 20365 ti = "15/12289/20365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12289/20365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12289 ÷ 215
    12289 ÷ 32768     		x = 0.375030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20365 ÷ 215
    20365 ÷ 32768     		y = 0.621490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.24993896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78520642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.24298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.763347189549774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78520642} λ = -0.78520642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763347189549774))-π/2
    2×atan(0.466103675704108)-π/2
    2×0.436164749987026-π/2
    0.872329499974051-1.57079632675     		φ = -0.69846683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78520642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69846683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.019201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12289 KachelY 20365 -0.78520642 -0.69846683 -44.989014 -40.019201
    Oben rechts KachelX + 1 12290 KachelY 20365 -0.78501467 -0.69846683 -44.978027 -40.019201
    Unten links KachelX 12289 KachelY + 1 20366 -0.78520642 -0.69861366 -44.989014 -40.027614
    Unten rechts KachelX + 1 12290 KachelY + 1 20366 -0.78501467 -0.69861366 -44.978027 -40.027614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69846683--0.69861366) × R
    0.000146830000000042 × 6371000     		dl = 935.453930000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69846683--0.69861366) × R
    0.000146830000000042 × 6371000     		dr = 935.453930000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78520642--0.78501467) × cos(-0.69846683) × R
    0.000191749999999935 × 0.765828983206317 × 6371000     		do = 935.566744672111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78520642--0.78501467) × cos(-0.69861366) × R
    0.000191749999999935 × 0.765734556757189 × 6371000     		du = 935.451389615618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69846683)-sin(-0.69861366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765828983206317-0.765734556757189)×R²
    abs(-0.78501467--0.78520642)×9.44264491273827e-05×R²
    0.000191749999999935×9.44264491273827e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.44264491273827e-05×40589641000000     		ar = 875125.634983425m²