Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12288 / 20361
↖ ↑ ↗
← S 39.985539°
W 45.000000°		 ← 935.98 m → S 39.985539°
W 44.989014°		 →
↑
935.96 m
↓
↑
935.96 m
↓
S 39.993956°
W 45.000000°		 ← 935.86 m →
875 989 m²		 S 39.993956°
W 44.989014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375015258789062 y=0.621383666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375015258789062 × 215)
    floor (0.375015258789062 × 32768)
    floor (12288.5)     		tx = 12288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621383666992188 × 215)
    floor (0.621383666992188 × 32768)
    floor (20361.5)     		ty = 20361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12288 / 20361 ti = "15/12288/20361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12288/20361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12288 ÷ 215
    12288 ÷ 32768     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20361 ÷ 215
    20361 ÷ 32768     		y = 0.621368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.24273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.762580199155853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762580199155853))-π/2
    2×atan(0.4664613098794)-π/2
    2×0.436458514145246-π/2
    0.872917028290493-1.57079632675     		φ = -0.69787930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69787930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.985539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12288 KachelY 20361 -0.78539816 -0.69787930 -45.000000 -39.985539
    Oben rechts KachelX + 1 12289 KachelY 20361 -0.78520642 -0.69787930 -44.989014 -39.985539
    Unten links KachelX 12288 KachelY + 1 20362 -0.78539816 -0.69802621 -45.000000 -39.993956
    Unten rechts KachelX + 1 12289 KachelY + 1 20362 -0.78520642 -0.69802621 -44.989014 -39.993956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69787930--0.69802621) × R
    0.00014691 × 6371000     		dl = 935.963610000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69787930--0.69802621) × R
    0.00014691 × 6371000     		dr = 935.963610000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.78520642) × cos(-0.69787930) × R
    0.000191739999999996 × 0.766206658821837 × 6371000     		do = 935.97931300186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.78520642) × cos(-0.69802621) × R
    0.000191739999999996 × 0.766112247034181 × 6371000     		du = 935.863981871372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69787930)-sin(-0.69802621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766206658821837-0.766112247034181)×R²
    abs(-0.78520642--0.78539816)×9.44117876557904e-05×R²
    0.000191739999999996×9.44117876557904e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.44117876557904e-05×40589641000000     		ar = 875988.605387254m²