Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12286 / 20358
↖ ↑ ↗
← S 39.960280°
W 45.021973°		 ← 936.37 m → S 39.960280°
W 45.010986°		 →
↑
936.35 m
↓
↑
936.35 m
↓
S 39.968701°
W 45.021973°		 ← 936.26 m →
876 716 m²		 S 39.968701°
W 45.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374954223632812 y=0.621292114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374954223632812 × 215)
    floor (0.374954223632812 × 32768)
    floor (12286.5)     		tx = 12286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621292114257812 × 215)
    floor (0.621292114257812 × 32768)
    floor (20358.5)     		ty = 20358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12286 / 20358 ti = "15/12286/20358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12286/20358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12286 ÷ 215
    12286 ÷ 32768     		x = 0.37493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20358 ÷ 215
    20358 ÷ 32768     		y = 0.62127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.2425537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.762004956360413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78578166} λ = -0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762004956360413))-π/2
    2×atan(0.466729715579081)-π/2
    2×0.436678932304562-π/2
    0.873357864609124-1.57079632675     		φ = -0.69743846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69743846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.960280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12286 KachelY 20358 -0.78578166 -0.69743846 -45.021973 -39.960280
    Oben rechts KachelX + 1 12287 KachelY 20358 -0.78558991 -0.69743846 -45.010986 -39.960280
    Unten links KachelX 12286 KachelY + 1 20359 -0.78578166 -0.69758543 -45.021973 -39.968701
    Unten rechts KachelX + 1 12287 KachelY + 1 20359 -0.78558991 -0.69758543 -45.010986 -39.968701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69743846--0.69758543) × R
    0.000146969999999969 × 6371000     		dl = 936.345869999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69743846--0.69758543) × R
    0.000146969999999969 × 6371000     		dr = 936.345869999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78578166--0.78558991) × cos(-0.69743846) × R
    0.000191750000000046 × 0.766489865604712 × 6371000     		do = 936.374104550166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78578166--0.78558991) × cos(-0.69758543) × R
    0.000191750000000046 × 0.766395464903488 × 6371000     		du = 936.258780948323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69743846)-sin(-0.69758543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766489865604712-0.766395464903488)×R²
    abs(-0.78558991--0.78578166)×9.44007012237957e-05×R²
    0.000191750000000046×9.44007012237957e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.44007012237957e-05×40589641000000     		ar = 876716.035759328m²