Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12284 / 12860
↖ ↑ ↗
← S 71.045529°
E 89.912110°		 ← 793.60 m → S 71.045529°
E 89.934082°		 →
↑
793.44 m
↓
↑
793.44 m
↓
S 71.052665°
E 89.912110°		 ← 793.31 m →
629 561 m²		 S 71.052665°
E 89.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749786376953125 y=0.784942626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749786376953125 × 214)
    floor (0.749786376953125 × 16384)
    floor (12284.5)     		tx = 12284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784942626953125 × 214)
    floor (0.784942626953125 × 16384)
    floor (12860.5)     		ty = 12860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12284 / 12860 ti = "14/12284/12860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12284/12860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12284 ÷ 214
    12284 ÷ 16384     		x = 0.749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12860 ÷ 214
    12860 ÷ 16384     		y = 0.784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749755859375 × 2 - 1) × π
    0.49951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56926235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56926235} λ = 1.56926235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79015557941138))-π/2
    2×atan(0.166934196122647)-π/2
    2×0.165408965046793-π/2
    0.330817930093586-1.57079632675     		φ = -1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56926235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.912110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12284 KachelY 12860 1.56926235 -1.23997840 89.912110 -71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 12285 KachelY 12860 1.56964584 -1.23997840 89.934082 -71.045529
    Unten links KachelX 12284 KachelY + 1 12861 1.56926235 -1.24010294 89.912110 -71.052665
    Unten rechts KachelX + 1 12285 KachelY + 1 12861 1.56964584 -1.24010294 89.934082 -71.052665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23997840--1.24010294) × R
    0.000124540000000062 × 6371000     		dl = 793.444340000394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23997840--1.24010294) × R
    0.000124540000000062 × 6371000     		dr = 793.444340000394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56926235-1.56964584) × cos(-1.23997840) × R
    0.000383489999999931 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 793.59699796724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56926235-1.56964584) × cos(-1.24010294) × R
    0.000383489999999931 × 0.324698923713169 × 6371000     		du = 793.309212712954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23997840)-sin(-1.24010294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.324698923713169)×R²
    abs(1.56964584-1.56926235)×0.000117789584224759×R²
    0.000383489999999931×0.000117789584224759×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117789584224759×40589641000000     		ar = 629560.876300896m²