Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12283 / 20366
↖ ↑ ↗
← S 40.027614°
W 45.054932°		 ← 935.45 m → S 40.027614°
W 45.043945°		 →
↑
935.39 m
↓
↑
935.39 m
↓
S 40.036026°
W 45.054932°		 ← 935.34 m →
874 958 m²		 S 40.036026°
W 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374862670898438 y=0.621536254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374862670898438 × 215)
    floor (0.374862670898438 × 32768)
    floor (12283.5)     		tx = 12283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621536254882812 × 215)
    floor (0.621536254882812 × 32768)
    floor (20366.5)     		ty = 20366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12283 / 20366 ti = "15/12283/20366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12283/20366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12283 ÷ 215
    12283 ÷ 32768     		x = 0.374847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20366 ÷ 215
    20366 ÷ 32768     		y = 0.62152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.25030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78635690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.2430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.763538937148254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78635690} λ = -0.78635690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763538937148254))-π/2
    2×atan(0.466014310011751)-π/2
    2×0.436091331579324-π/2
    0.872182663158648-1.57079632675     		φ = -0.69861366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78635690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.054932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69861366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.027614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12283 KachelY 20366 -0.78635690 -0.69861366 -45.054932 -40.027614
    Oben rechts KachelX + 1 12284 KachelY 20366 -0.78616515 -0.69861366 -45.043945 -40.027614
    Unten links KachelX 12283 KachelY + 1 20367 -0.78635690 -0.69876048 -45.054932 -40.036026
    Unten rechts KachelX + 1 12284 KachelY + 1 20367 -0.78616515 -0.69876048 -45.043945 -40.036026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69861366--0.69876048) × R
    0.000146819999999992 × 6371000     		dl = 935.390219999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69861366--0.69876048) × R
    0.000146819999999992 × 6371000     		dr = 935.390219999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78635690--0.78616515) × cos(-0.69861366) × R
    0.000191750000000046 × 0.765734556757189 × 6371000     		do = 935.45138961616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78635690--0.78616515) × cos(-0.69876048) × R
    0.000191750000000046 × 0.765640120232245 × 6371000     		du = 935.336022250654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69861366)-sin(-0.69876048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765734556757189-0.765640120232245)×R²
    abs(-0.78616515--0.78635690)×9.44365249444523e-05×R²
    0.000191750000000046×9.44365249444523e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.44365249444523e-05×40589641000000     		ar = 874958.125950817m²