Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12282 / 20046
↖ ↑ ↗
← S 37.282795°
W 45.065918°		 ← 972 m → S 37.282795°
W 45.054932°		 →
↑
971.96 m
↓
↑
971.96 m
↓
S 37.291536°
W 45.065918°		 ← 971.89 m →
944 694 m²		 S 37.291536°
W 45.054932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374832153320312 y=0.611770629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374832153320312 × 215)
    floor (0.374832153320312 × 32768)
    floor (12282.5)     		tx = 12282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611770629882812 × 215)
    floor (0.611770629882812 × 32768)
    floor (20046.5)     		ty = 20046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12282 / 20046 ti = "15/12282/20046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12282/20046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12282 ÷ 215
    12282 ÷ 32768     		x = 0.37481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20046 ÷ 215
    20046 ÷ 32768     		y = 0.61175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.2503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78654865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61175537109375 × 2 - 1) × π
    -0.2235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.702179705634583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78654865} λ = -0.78654865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.702179705634583))-π/2
    2×atan(0.495504072817396)-π/2
    2×0.460044402919482-π/2
    0.920088805838964-1.57079632675     		φ = -0.65070752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78654865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65070752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.282795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12282 KachelY 20046 -0.78654865 -0.65070752 -45.065918 -37.282795
    Oben rechts KachelX + 1 12283 KachelY 20046 -0.78635690 -0.65070752 -45.054932 -37.282795
    Unten links KachelX 12282 KachelY + 1 20047 -0.78654865 -0.65086008 -45.065918 -37.291536
    Unten rechts KachelX + 1 12283 KachelY + 1 20047 -0.78635690 -0.65086008 -45.054932 -37.291536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65070752--0.65086008) × R
    0.000152559999999968 × 6371000     		dl = 971.959759999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65070752--0.65086008) × R
    0.000152559999999968 × 6371000     		dr = 971.959759999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78654865--0.78635690) × cos(-0.65070752) × R
    0.000191749999999935 × 0.795655417845376 × 6371000     		do = 972.003887914733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78654865--0.78635690) × cos(-0.65086008) × R
    0.000191749999999935 × 0.79556299544284 × 6371000     		du = 971.890981080215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65070752)-sin(-0.65086008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.795655417845376-0.79556299544284)×R²
    abs(-0.78635690--0.78654865)×9.24224025360409e-05×R²
    0.000191749999999935×9.24224025360409e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.24224025360409e-05×40589641000000     		ar = 944693.796999051m²