Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12279 / 20041
↖ ↑ ↗
← S 37.239075°
W 45.098877°		 ← 972.57 m → S 37.239075°
W 45.087890°		 →
↑
972.53 m
↓
↑
972.53 m
↓
S 37.247821°
W 45.098877°		 ← 972.46 m →
945 800 m²		 S 37.247821°
W 45.087890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374740600585938 y=0.611618041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374740600585938 × 215)
    floor (0.374740600585938 × 32768)
    floor (12279.5)     		tx = 12279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611618041992188 × 215)
    floor (0.611618041992188 × 32768)
    floor (20041.5)     		ty = 20041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12279 / 20041 ti = "15/12279/20041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12279/20041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12279 ÷ 215
    12279 ÷ 32768     		x = 0.374725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20041 ÷ 215
    20041 ÷ 32768     		y = 0.611602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.25054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78712389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611602783203125 × 2 - 1) × π
    -0.22320556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.701220967642181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78712389} λ = -0.78712389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.701220967642181))-π/2
    2×atan(0.495979359198544)-π/2
    2×0.460425926196235-π/2
    0.92085185239247-1.57079632675     		φ = -0.64994447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78712389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64994447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.239075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12279 KachelY 20041 -0.78712389 -0.64994447 -45.098877 -37.239075
    Oben rechts KachelX + 1 12280 KachelY 20041 -0.78693214 -0.64994447 -45.087890 -37.239075
    Unten links KachelX 12279 KachelY + 1 20042 -0.78712389 -0.65009712 -45.098877 -37.247821
    Unten rechts KachelX + 1 12280 KachelY + 1 20042 -0.78693214 -0.65009712 -45.087890 -37.247821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64994447--0.65009712) × R
    0.000152649999999976 × 6371000     		dl = 972.53314999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64994447--0.65009712) × R
    0.000152649999999976 × 6371000     		dr = 972.53314999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78712389--0.78693214) × cos(-0.64994447) × R
    0.000191750000000046 × 0.796117403322755 × 6371000     		do = 972.568267507391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78712389--0.78693214) × cos(-0.65009712) × R
    0.000191750000000046 × 0.796025019090975 × 6371000     		du = 972.455407303768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64994447)-sin(-0.65009712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796117403322755-0.796025019090975)×R²
    abs(-0.78693214--0.78712389)×9.23842317799295e-05×R²
    0.000191750000000046×9.23842317799295e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.23842317799295e-05×40589641000000     		ar = 945800.00248115m²