Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12278 / 20462
↖ ↑ ↗
← S 40.830437°
W 45.109863°		 ← 924.35 m → S 40.830437°
W 45.098877°		 →
↑
924.24 m
↓
↑
924.24 m
↓
S 40.838749°
W 45.109863°		 ← 924.23 m →
854 269 m²		 S 40.838749°
W 45.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374710083007812 y=0.624465942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374710083007812 × 215)
    floor (0.374710083007812 × 32768)
    floor (12278.5)     		tx = 12278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624465942382812 × 215)
    floor (0.624465942382812 × 32768)
    floor (20462.5)     		ty = 20462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12278 / 20462 ti = "15/12278/20462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12278/20462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12278 ÷ 215
    12278 ÷ 32768     		x = 0.37469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20462 ÷ 215
    20462 ÷ 32768     		y = 0.62445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781946706602356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78731564} λ = -0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781946706602356))-π/2
    2×atan(0.457514497336066)-π/2
    2×0.429085384134558-π/2
    0.858170768269115-1.57079632675     		φ = -0.71262556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71262556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.830437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12278 KachelY 20462 -0.78731564 -0.71262556 -45.109863 -40.830437
    Oben rechts KachelX + 1 12279 KachelY 20462 -0.78712389 -0.71262556 -45.098877 -40.830437
    Unten links KachelX 12278 KachelY + 1 20463 -0.78731564 -0.71277063 -45.109863 -40.838749
    Unten rechts KachelX + 1 12279 KachelY + 1 20463 -0.78712389 -0.71277063 -45.098877 -40.838749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71262556--0.71277063) × R
    0.000145069999999969 × 6371000     		dl = 924.240969999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71262556--0.71277063) × R
    0.000145069999999969 × 6371000     		dr = 924.240969999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78731564--0.78712389) × cos(-0.71262556) × R
    0.000191749999999935 × 0.756647835373912 × 6371000     		do = 924.350694119996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78731564--0.78712389) × cos(-0.71277063) × R
    0.000191749999999935 × 0.756552977360958 × 6371000     		du = 924.234811848194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71262556)-sin(-0.71277063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756647835373912-0.756552977360958)×R²
    abs(-0.78712389--0.78731564)×9.48580129536136e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48580129536136e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48580129536136e-05×40589641000000     		ar = 854269.232080569m²