Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12278 / 20051
↖ ↑ ↗
← S 37.326488°
W 45.109863°		 ← 971.44 m → S 37.326488°
W 45.098877°		 →
↑
971.39 m
↓
↑
971.39 m
↓
S 37.335224°
W 45.109863°		 ← 971.33 m →
943 588 m²		 S 37.335224°
W 45.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374710083007812 y=0.611923217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374710083007812 × 215)
    floor (0.374710083007812 × 32768)
    floor (12278.5)     		tx = 12278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611923217773438 × 215)
    floor (0.611923217773438 × 32768)
    floor (20051.5)     		ty = 20051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12278 / 20051 ti = "15/12278/20051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12278/20051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12278 ÷ 215
    12278 ÷ 32768     		x = 0.37469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20051 ÷ 215
    20051 ÷ 32768     		y = 0.611907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.22381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.703138443626984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78731564} λ = -0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.703138443626984))-π/2
    2×atan(0.495029241892991)-π/2
    2×0.459663101149943-π/2
    0.919326202299886-1.57079632675     		φ = -0.65147012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65147012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.326488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12278 KachelY 20051 -0.78731564 -0.65147012 -45.109863 -37.326488
    Oben rechts KachelX + 1 12279 KachelY 20051 -0.78712389 -0.65147012 -45.098877 -37.326488
    Unten links KachelX 12278 KachelY + 1 20052 -0.78731564 -0.65162259 -45.109863 -37.335224
    Unten rechts KachelX + 1 12279 KachelY + 1 20052 -0.78712389 -0.65162259 -45.098877 -37.335224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65147012--0.65162259) × R
    0.00015246999999996 × 6371000     		dl = 971.386369999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65147012--0.65162259) × R
    0.00015246999999996 × 6371000     		dr = 971.386369999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78731564--0.78712389) × cos(-0.65147012) × R
    0.000191749999999935 × 0.795193241961712 × 6371000     		do = 971.439275714845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78731564--0.78712389) × cos(-0.65162259) × R
    0.000191749999999935 × 0.795100781606051 × 6371000     		du = 971.326322515301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65147012)-sin(-0.65162259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.795193241961712-0.795100781606051)×R²
    abs(-0.78712389--0.78731564)×9.24603556602399e-05×R²
    0.000191749999999935×9.24603556602399e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.24603556602399e-05×40589641000000     		ar = 943588.012940293m²