Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12278 / 20036
↖ ↑ ↗
← S 37.195330°
W 45.109863°		 ← 973.13 m → S 37.195330°
W 45.098877°		 →
↑
973.11 m
↓
↑
973.11 m
↓
S 37.204082°
W 45.109863°		 ← 973.02 m →
946 907 m²		 S 37.204082°
W 45.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374710083007812 y=0.611465454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374710083007812 × 215)
    floor (0.374710083007812 × 32768)
    floor (12278.5)     		tx = 12278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611465454101562 × 215)
    floor (0.611465454101562 × 32768)
    floor (20036.5)     		ty = 20036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12278 / 20036 ti = "15/12278/20036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12278/20036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12278 ÷ 215
    12278 ÷ 32768     		x = 0.37469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20036 ÷ 215
    20036 ÷ 32768     		y = 0.6114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6114501953125 × 2 - 1) × π
    -0.222900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.70026222964978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78731564} λ = -0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.70026222964978))-π/2
    2×atan(0.496455101473311)-π/2
    2×0.460807670886614-π/2
    0.921615341773228-1.57079632675     		φ = -0.64918098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64918098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.195330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12278 KachelY 20036 -0.78731564 -0.64918098 -45.109863 -37.195330
    Oben rechts KachelX + 1 12279 KachelY 20036 -0.78712389 -0.64918098 -45.098877 -37.195330
    Unten links KachelX 12278 KachelY + 1 20037 -0.78731564 -0.64933372 -45.109863 -37.204082
    Unten rechts KachelX + 1 12279 KachelY + 1 20037 -0.78712389 -0.64933372 -45.098877 -37.204082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64918098--0.64933372) × R
    0.000152739999999985 × 6371000     		dl = 973.106539999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64918098--0.64933372) × R
    0.000152739999999985 × 6371000     		dr = 973.106539999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78731564--0.78712389) × cos(-0.64918098) × R
    0.000191749999999935 × 0.79657919125966 × 6371000     		do = 973.132405775728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78731564--0.78712389) × cos(-0.64933372) × R
    0.000191749999999935 × 0.796486845415285 × 6371000     		du = 973.019592467665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64918098)-sin(-0.64933372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79657919125966-0.796486845415285)×R²
    abs(-0.78712389--0.78731564)×9.23458443752301e-05×R²
    0.000191749999999935×9.23458443752301e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.23458443752301e-05×40589641000000     		ar = 946906.620502928m²