Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12277 / 20037
↖ ↑ ↗
← S 37.204082°
W 45.120850°		 ← 973.02 m → S 37.204082°
W 45.109863°		 →
↑
972.92 m
↓
↑
972.92 m
↓
S 37.212831°
W 45.120850°		 ← 972.91 m →
946 611 m²		 S 37.212831°
W 45.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374679565429688 y=0.611495971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374679565429688 × 215)
    floor (0.374679565429688 × 32768)
    floor (12277.5)     		tx = 12277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611495971679688 × 215)
    floor (0.611495971679688 × 32768)
    floor (20037.5)     		ty = 20037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12277 / 20037 ti = "15/12277/20037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12277/20037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12277 ÷ 215
    12277 ÷ 32768     		x = 0.374664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20037 ÷ 215
    20037 ÷ 32768     		y = 0.611480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.25067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78750739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.22296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.700453977248261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78750739} λ = -0.78750739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.700453977248261))-π/2
    2×atan(0.496359916525884)-π/2
    2×0.460731304239959-π/2
    0.921462608479919-1.57079632675     		φ = -0.64933372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78750739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.120850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64933372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.204082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12277 KachelY 20037 -0.78750739 -0.64933372 -45.120850 -37.204082
    Oben rechts KachelX + 1 12278 KachelY 20037 -0.78731564 -0.64933372 -45.109863 -37.204082
    Unten links KachelX 12277 KachelY + 1 20038 -0.78750739 -0.64948643 -45.120850 -37.212831
    Unten rechts KachelX + 1 12278 KachelY + 1 20038 -0.78731564 -0.64948643 -45.109863 -37.212831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64933372--0.64948643) × R
    0.000152709999999945 × 6371000     		dl = 972.915409999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64933372--0.64948643) × R
    0.000152709999999945 × 6371000     		dr = 972.915409999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78750739--0.78731564) × cos(-0.64933372) × R
    0.000191750000000046 × 0.796486845415285 × 6371000     		do = 973.019592468228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78750739--0.78731564) × cos(-0.64948643) × R
    0.000191750000000046 × 0.796394499132589 × 6371000     		du = 972.906778624695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64933372)-sin(-0.64948643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796486845415285-0.796394499132589)×R²
    abs(-0.78731564--0.78750739)×9.23462826962762e-05×R²
    0.000191750000000046×9.23462826962762e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.23462826962762e-05×40589641000000     		ar = 946610.878420231m²