Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12274 / 20594
↖ ↑ ↗
← S 41.918629°
W 45.153809°		 ← 909.01 m → S 41.918629°
W 45.142822°		 →
↑
908.95 m
↓
↑
908.95 m
↓
S 41.926803°
W 45.153809°		 ← 908.90 m →
826 197 m²		 S 41.926803°
W 45.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374588012695312 y=0.628494262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374588012695312 × 215)
    floor (0.374588012695312 × 32768)
    floor (12274.5)     		tx = 12274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628494262695312 × 215)
    floor (0.628494262695312 × 32768)
    floor (20594.5)     		ty = 20594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12274 / 20594 ti = "15/12274/20594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12274/20594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12274 ÷ 215
    12274 ÷ 32768     		x = 0.37457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20594 ÷ 215
    20594 ÷ 32768     		y = 0.62847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.2508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78808263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.2569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.807257389601746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78808263} λ = -0.78808263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807257389601746))-π/2
    2×atan(0.446079813203275)-π/2
    2×0.419589117596544-π/2
    0.839178235193087-1.57079632675     		φ = -0.73161809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78808263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73161809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.918629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12274 KachelY 20594 -0.78808263 -0.73161809 -45.153809 -41.918629
    Oben rechts KachelX + 1 12275 KachelY 20594 -0.78789088 -0.73161809 -45.142822 -41.918629
    Unten links KachelX 12274 KachelY + 1 20595 -0.78808263 -0.73176076 -45.153809 -41.926803
    Unten rechts KachelX + 1 12275 KachelY + 1 20595 -0.78789088 -0.73176076 -45.142822 -41.926803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73161809--0.73176076) × R
    0.000142670000000011 × 6371000     		dl = 908.950570000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73161809--0.73176076) × R
    0.000142670000000011 × 6371000     		dr = 908.950570000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78808263--0.78789088) × cos(-0.73161809) × R
    0.000191750000000046 × 0.744094372214755 × 6371000     		do = 909.014890801873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78808263--0.78789088) × cos(-0.73176076) × R
    0.000191750000000046 × 0.743999050450287 × 6371000     		du = 908.898441993019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73161809)-sin(-0.73176076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744094372214755-0.743999050450287)×R²
    abs(-0.78789088--0.78808263)×9.53217644676929e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53217644676929e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53217644676929e-05×40589641000000     		ar = 826196.681428203m²