Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12274 / 12882
↖ ↑ ↗
← S 71.201920°
E 89.692383°		 ← 787.31 m → S 71.201920°
E 89.714356°		 →
↑
787.20 m
↓
↑
787.20 m
↓
S 71.208999°
E 89.692383°		 ← 787.02 m →
619 656 m²		 S 71.208999°
E 89.714356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749176025390625 y=0.786285400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749176025390625 × 214)
    floor (0.749176025390625 × 16384)
    floor (12274.5)     		tx = 12274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786285400390625 × 214)
    floor (0.786285400390625 × 16384)
    floor (12882.5)     		ty = 12882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12274 / 12882 ti = "14/12274/12882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12274/12882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12274 ÷ 214
    12274 ÷ 16384     		x = 0.7491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12882 ÷ 214
    12882 ÷ 16384     		y = 0.7862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7491455078125 × 2 - 1) × π
    0.498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56542739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79859247374451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56542739} λ = 1.56542739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79859247374451))-π/2
    2×atan(0.165531714562918)-π/2
    2×0.164044196865544-π/2
    0.328088393731089-1.57079632675     		φ = -1.24270793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56542739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.692383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24270793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.201920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12274 KachelY 12882 1.56542739 -1.24270793 89.692383 -71.201920
    Oben rechts KachelX + 1 12275 KachelY 12882 1.56581089 -1.24270793 89.714356 -71.201920
    Unten links KachelX 12274 KachelY + 1 12883 1.56542739 -1.24283149 89.692383 -71.208999
    Unten rechts KachelX + 1 12275 KachelY + 1 12883 1.56581089 -1.24283149 89.714356 -71.208999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24270793--1.24283149) × R
    0.000123560000000023 × 6371000     		dl = 787.200760000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24270793--1.24283149) × R
    0.000123560000000023 × 6371000     		dr = 787.200760000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56542739-1.56581089) × cos(-1.24270793) × R
    0.000383500000000092 × 0.322233979857054 × 6371000     		do = 787.307354954361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56542739-1.56581089) × cos(-1.24283149) × R
    0.000383500000000092 × 0.322117008081008 × 6371000     		du = 787.021560328842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24270793)-sin(-1.24283149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322233979857054-0.322117008081008)×R²
    abs(1.56581089-1.56542739)×0.000116971776045804×R²
    0.000383500000000092×0.000116971776045804×6371000²
    0.000383500000000092×0.000116971776045804×40589641000000     		ar = 619656.460088341m²