Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12273 / 20591
↖ ↑ ↗
← S 41.894099°
W 45.164795°		 ← 909.36 m → S 41.894099°
W 45.153809°		 →
↑
909.33 m
↓
↑
909.33 m
↓
S 41.902277°
W 45.164795°		 ← 909.25 m →
826 862 m²		 S 41.902277°
W 45.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374557495117188 y=0.628402709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374557495117188 × 215)
    floor (0.374557495117188 × 32768)
    floor (12273.5)     		tx = 12273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628402709960938 × 215)
    floor (0.628402709960938 × 32768)
    floor (20591.5)     		ty = 20591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12273 / 20591 ti = "15/12273/20591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12273/20591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12273 ÷ 215
    12273 ÷ 32768     		x = 0.374542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20591 ÷ 215
    20591 ÷ 32768     		y = 0.628387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.25091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78827438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628387451171875 × 2 - 1) × π
    -0.25677490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806682146806305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78827438} λ = -0.78827438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806682146806305))-π/2
    2×atan(0.446336491221024)-π/2
    2×0.419803176182335-π/2
    0.83960635236467-1.57079632675     		φ = -0.73118997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78827438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73118997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.894099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12273 KachelY 20591 -0.78827438 -0.73118997 -45.164795 -41.894099
    Oben rechts KachelX + 1 12274 KachelY 20591 -0.78808263 -0.73118997 -45.153809 -41.894099
    Unten links KachelX 12273 KachelY + 1 20592 -0.78827438 -0.73133270 -45.164795 -41.902277
    Unten rechts KachelX + 1 12274 KachelY + 1 20592 -0.78808263 -0.73133270 -45.153809 -41.902277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73118997--0.73133270) × R
    0.00014272999999998 × 6371000     		dl = 909.332829999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73118997--0.73133270) × R
    0.00014272999999998 × 6371000     		dr = 909.332829999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78827438--0.78808263) × cos(-0.73118997) × R
    0.000191750000000046 × 0.744380320078517 × 6371000     		do = 909.364215935698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78827438--0.78808263) × cos(-0.73133270) × R
    0.000191750000000046 × 0.744285003697341 × 6371000     		du = 909.247773703285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73118997)-sin(-0.73133270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744380320078517-0.744285003697341)×R²
    abs(-0.78808263--0.78827438)×9.53163811761026e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53163811761026e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53163811761026e-05×40589641000000     		ar = 826861.79500925m²