Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122722 / 28105
↖ ↑ ↗
← N 71.122992°
E157.066040°		 ← 98.82 m → N 71.122992°
E157.068787°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
N 71.122103°
E157.066040°		 ← 98.82 m →
9 765 m²		 N 71.122103°
E157.068787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936298370361328 y=0.214427947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936298370361328 × 217)
    floor (0.936298370361328 × 131072)
    floor (122722.5)     		tx = 122722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214427947998047 × 217)
    floor (0.214427947998047 × 131072)
    floor (28105.5)     		ty = 28105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122722 / 28105 ti = "17/122722/28105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122722/28105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122722 ÷ 217
    122722 ÷ 131072     		x = 0.936294555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28105 ÷ 217
    28105 ÷ 131072     		y = 0.214424133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.936294555664062 × 2 - 1) × π
    0.872589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.74131954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214424133300781 × 2 - 1) × π
    0.571151733398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.79432608967832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74131954} λ = 2.74131954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79432608967832))-π/2
    2×atan(6.01541950224178)-π/2
    2×1.40606335320937-π/2
    2.81212670641875-1.57079632675     		φ = 1.24133038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74131954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.066040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24133038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.122992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122722 KachelY 28105 2.74131954 1.24133038 157.066040 71.122992
    Oben rechts KachelX + 1 122723 KachelY 28105 2.74136748 1.24133038 157.068787 71.122992
    Unten links KachelX 122722 KachelY + 1 28106 2.74131954 1.24131487 157.066040 71.122103
    Unten rechts KachelX + 1 122723 KachelY + 1 28106 2.74136748 1.24131487 157.068787 71.122103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24133038-1.24131487) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dl = 98.8142099992695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24133038-1.24131487) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dr = 98.8142099992695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74131954-2.74136748) × cos(1.24133038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323537745262547 × 6371000     		do = 98.8167552646802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74131954-2.74136748) × cos(1.24131487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323552421022389 × 6371000     		du = 98.8212376194899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24133038)-sin(1.24131487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323537745262547-0.323552421022389)×R²
    abs(2.74136748-2.74131954)×1.46757598415981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46757598415981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46757598415981e-05×40589641000000     		ar = 9764.72106651794m²