Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12272 / 20305
↖ ↑ ↗
← S 39.512517°
W 45.175781°		 ← 942.43 m → S 39.512517°
W 45.164795°		 →
↑
942.40 m
↓
↑
942.40 m
↓
S 39.520992°
W 45.175781°		 ← 942.31 m →
888 088 m²		 S 39.520992°
W 45.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374526977539062 y=0.619674682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374526977539062 × 215)
    floor (0.374526977539062 × 32768)
    floor (12272.5)     		tx = 12272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619674682617188 × 215)
    floor (0.619674682617188 × 32768)
    floor (20305.5)     		ty = 20305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12272 / 20305 ti = "15/12272/20305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12272/20305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12272 ÷ 215
    12272 ÷ 32768     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20305 ÷ 215
    20305 ÷ 32768     		y = 0.619659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.23931884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.751842333640961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.751842333640961))-π/2
    2×atan(0.47149709710964)-π/2
    2×0.440586404560791-π/2
    0.881172809121582-1.57079632675     		φ = -0.68962352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68962352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.512517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12272 KachelY 20305 -0.78846612 -0.68962352 -45.175781 -39.512517
    Oben rechts KachelX + 1 12273 KachelY 20305 -0.78827438 -0.68962352 -45.164795 -39.512517
    Unten links KachelX 12272 KachelY + 1 20306 -0.78846612 -0.68977144 -45.175781 -39.520992
    Unten rechts KachelX + 1 12273 KachelY + 1 20306 -0.78827438 -0.68977144 -45.164795 -39.520992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68962352--0.68977144) × R
    0.000147919999999968 × 6371000     		dl = 942.398319999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68962352--0.68977144) × R
    0.000147919999999968 × 6371000     		dr = 942.398319999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78827438) × cos(-0.68962352) × R
    0.000191739999999996 × 0.771485603852687 × 6371000     		do = 942.427943128552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78827438) × cos(-0.68977144) × R
    0.000191739999999996 × 0.771391481789389 × 6371000     		du = 942.312965918252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68962352)-sin(-0.68977144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771485603852687-0.771391481789389)×R²
    abs(-0.78827438--0.78846612)×9.41220632989515e-05×R²
    0.000191739999999996×9.41220632989515e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.41220632989515e-05×40589641000000     		ar = 888088.334779692m²