Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122704 / 26832
↖ ↑ ↗
← N 72.222101°
E157.016602°		 ← 93.24 m → N 72.222101°
E157.019348°		 →
↑
93.21 m
↓
↑
93.21 m
↓
N 72.221262°
E157.016602°		 ← 93.24 m →
8 690 m²		 N 72.221262°
E157.019348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936161041259766 y=0.204715728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936161041259766 × 217)
    floor (0.936161041259766 × 131072)
    floor (122704.5)     		tx = 122704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204715728759766 × 217)
    floor (0.204715728759766 × 131072)
    floor (26832.5)     		ty = 26832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122704 / 26832 ti = "17/122704/26832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122704/26832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122704 ÷ 217
    122704 ÷ 131072     		x = 0.9361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26832 ÷ 217
    26832 ÷ 131072     		y = 0.2047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9361572265625 × 2 - 1) × π
    0.872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.74045668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2047119140625 × 2 - 1) × π
    0.590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85534976289465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74045668} λ = 2.74045668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85534976289465))-π/2
    2×atan(6.39393422050964)-π/2
    2×1.41565489000332-π/2
    2.83130978000665-1.57079632675     		φ = 1.26051345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74045668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26051345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.222101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122704 KachelY 26832 2.74045668 1.26051345 157.016602 72.222101
    Oben rechts KachelX + 1 122705 KachelY 26832 2.74050461 1.26051345 157.019348 72.222101
    Unten links KachelX 122704 KachelY + 1 26833 2.74045668 1.26049882 157.016602 72.221262
    Unten rechts KachelX + 1 122705 KachelY + 1 26833 2.74050461 1.26049882 157.019348 72.221262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26051345-1.26049882) × R
    1.46299999999044e-05 × 6371000     		dl = 93.2077299993912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26051345-1.26049882) × R
    1.46299999999044e-05 × 6371000     		dr = 93.2077299993912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74045668-2.74050461) × cos(1.26051345) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.305328017302486 × 6371000     		do = 93.2355831794194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74045668-2.74050461) × cos(1.26049882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.305341948646899 × 6371000     		du = 93.2398372830298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26051345)-sin(1.26049882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305328017302486-0.305341948646899)×R²
    abs(2.74050461-2.74045668)×1.39313444123546e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.39313444123546e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.39313444123546e-05×40589641000000     		ar = 8690.47532128035m²