Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1227 / 931
↖ ↑ ↗
← N 69.565226°
W 72.158203°		 ← 3 412.15 m → N 69.565226°
W 72.070313°		 →
↑
3 414.60 m
↓
↑
3 414.60 m
↓
N 69.534518°
W 72.158203°		 ← 3 417.06 m →
11 659 506 m²		 N 69.534518°
W 72.070313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2996826171875 y=0.2274169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2996826171875 × 212)
    floor (0.2996826171875 × 4096)
    floor (1227.5)     		tx = 1227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2274169921875 × 212)
    floor (0.2274169921875 × 4096)
    floor (931.5)     		ty = 931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1227 / 931 ti = "12/1227/931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1227/931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1227 ÷ 212
    1227 ÷ 4096     		x = 0.299560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 931 ÷ 212
    931 ÷ 4096     		y = 0.227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.299560546875 × 2 - 1) × π
    -0.40087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.25939823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227294921875 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.25939823} λ = -1.25939823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71345654001929))-π/2
    2×atan(5.54810562142545)-π/2
    2×1.39246928182623-π/2
    2.78493856365246-1.57079632675     		φ = 1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.25939823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1227 KachelY 931 -1.25939823 1.21414224 -72.158203 69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 1228 KachelY 931 -1.25786425 1.21414224 -72.070313 69.565226
    Unten links KachelX 1227 KachelY + 1 932 -1.25939823 1.21360628 -72.158203 69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 1228 KachelY + 1 932 -1.25786425 1.21360628 -72.070313 69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21414224-1.21360628) × R
    0.000535959999999891 × 6371000     		dl = 3414.60115999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21414224-1.21360628) × R
    0.000535959999999891 × 6371000     		dr = 3414.60115999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.25939823--1.25786425) × cos(1.21414224) × R
    0.00153398000000005 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 3412.14872137151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.25939823--1.25786425) × cos(1.21360628) × R
    0.00153398000000005 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 3417.05653939196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21414224)-sin(1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.349643019707478)×R²
    abs(-1.25786425--1.25939823)×0.000502182007544483×R²
    0.00153398000000005×0.000502182007544483×6371000²
    0.00153398000000005×0.000502182007544483×40589641000000     		ar = 11659506.381736m²