Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122698 / 28066
↖ ↑ ↗
← N 71.157617°
E157.000122°		 ← 98.62 m → N 71.157617°
E157.002868°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
N 71.156730°
E157.000122°		 ← 98.63 m →
9 727 m²		 N 71.156730°
E157.002868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936115264892578 y=0.214130401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936115264892578 × 217)
    floor (0.936115264892578 × 131072)
    floor (122698.5)     		tx = 122698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214130401611328 × 217)
    floor (0.214130401611328 × 131072)
    floor (28066.5)     		ty = 28066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122698 / 28066 ti = "17/122698/28066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122698/28066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122698 ÷ 217
    122698 ÷ 131072     		x = 0.936111450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28066 ÷ 217
    28066 ÷ 131072     		y = 0.214126586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.936111450195312 × 2 - 1) × π
    0.872222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.74016906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214126586914062 × 2 - 1) × π
    0.571746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7961956287635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74016906} λ = 2.74016906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7961956287635))-π/2
    2×atan(6.02667608314533)-π/2
    2×1.40636551907898-π/2
    2.81273103815796-1.57079632675     		φ = 1.24193471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74016906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.000122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24193471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.157617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122698 KachelY 28066 2.74016906 1.24193471 157.000122 71.157617
    Oben rechts KachelX + 1 122699 KachelY 28066 2.74021699 1.24193471 157.002868 71.157617
    Unten links KachelX 122698 KachelY + 1 28067 2.74016906 1.24191923 157.000122 71.156730
    Unten rechts KachelX + 1 122699 KachelY + 1 28067 2.74021699 1.24191923 157.002868 71.156730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24193471-1.24191923) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24193471-1.24191923) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74016906-2.74021699) × cos(1.24193471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322965859945985 × 6371000     		do = 98.621510613862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74016906-2.74021699) × cos(1.24191923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322980510343618 × 6371000     		du = 98.6259842890235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24193471)-sin(1.24191923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322965859945985-0.322980510343618)×R²
    abs(2.74021699-2.74016906)×1.46503976327095e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46503976327095e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46503976327095e-05×40589641000000     		ar = 9726.57773508817m²