Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122697 / 28067
↖ ↑ ↗
← N 71.156730°
E156.997376°		 ← 98.65 m → N 71.156730°
E157.000122°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
N 71.155843°
E156.997376°		 ← 98.65 m →
9 729 m²		 N 71.155843°
E157.000122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936107635498047 y=0.214138031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936107635498047 × 217)
    floor (0.936107635498047 × 131072)
    floor (122697.5)     		tx = 122697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214138031005859 × 217)
    floor (0.214138031005859 × 131072)
    floor (28067.5)     		ty = 28067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122697 / 28067 ti = "17/122697/28067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122697/28067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122697 ÷ 217
    122697 ÷ 131072     		x = 0.936103820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28067 ÷ 217
    28067 ÷ 131072     		y = 0.214134216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.936103820800781 × 2 - 1) × π
    0.872207641601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.74012112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214134216308594 × 2 - 1) × π
    0.571731567382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.79614769186388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74012112} λ = 2.74012112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79614769186388))-π/2
    2×atan(6.02638718990326)-π/2
    2×1.40635777791241-π/2
    2.81271555582482-1.57079632675     		φ = 1.24191923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74012112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.997376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24191923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.156730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122697 KachelY 28067 2.74012112 1.24191923 156.997376 71.156730
    Oben rechts KachelX + 1 122698 KachelY 28067 2.74016906 1.24191923 157.000122 71.156730
    Unten links KachelX 122697 KachelY + 1 28068 2.74012112 1.24190375 156.997376 71.155843
    Unten rechts KachelX + 1 122698 KachelY + 1 28068 2.74016906 1.24190375 157.000122 71.155843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24191923-1.24190375) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dl = 98.6230799990164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24191923-1.24190375) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dr = 98.6230799990164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74012112-2.74016906) × cos(1.24191923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322980510343618 × 6371000     		do = 98.6465613772124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74012112-2.74016906) × cos(1.24190375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322995160663854 × 6371000     		du = 98.6510359621118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24191923)-sin(1.24190375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322980510343618-0.322995160663854)×R²
    abs(2.74016906-2.74012112)×1.46503202364534e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46503202364534e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46503202364534e-05×40589641000000     		ar = 9729.04836323379m²