Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122693 / 28101
↖ ↑ ↗
← N 71.126546°
E156.986389°		 ← 98.80 m → N 71.126546°
E156.989136°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
N 71.125657°
E156.986389°		 ← 98.80 m →
9 763 m²		 N 71.125657°
E156.989136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936077117919922 y=0.214397430419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936077117919922 × 217)
    floor (0.936077117919922 × 131072)
    floor (122693.5)     		tx = 122693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214397430419922 × 217)
    floor (0.214397430419922 × 131072)
    floor (28101.5)     		ty = 28101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122693 / 28101 ti = "17/122693/28101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122693/28101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122693 ÷ 217
    122693 ÷ 131072     		x = 0.936073303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28101 ÷ 217
    28101 ÷ 131072     		y = 0.214393615722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.936073303222656 × 2 - 1) × π
    0.872146606445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.73992937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214393615722656 × 2 - 1) × π
    0.571212768554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.7945178372768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73992937} λ = 2.73992937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7945178372768))-π/2
    2×atan(6.01657305507714)-π/2
    2×1.40609436918845-π/2
    2.81218873837691-1.57079632675     		φ = 1.24139241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73992937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.986389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24139241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.126546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122693 KachelY 28101 2.73992937 1.24139241 156.986389 71.126546
    Oben rechts KachelX + 1 122694 KachelY 28101 2.73997731 1.24139241 156.989136 71.126546
    Unten links KachelX 122693 KachelY + 1 28102 2.73992937 1.24137690 156.986389 71.125657
    Unten rechts KachelX + 1 122694 KachelY + 1 28102 2.73997731 1.24137690 156.989136 71.125657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24139241-1.24137690) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24139241-1.24137690) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73992937-2.73997731) × cos(1.24139241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323479050907266 × 6371000     		do = 98.7988284977847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73992937-2.73997731) × cos(1.24137690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323493726978358 × 6371000     		du = 98.8033109476581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24139241)-sin(1.24137690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323479050907266-0.323493726978358)×R²
    abs(2.73997731-2.73992937)×1.46760710915683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46760710915683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46760710915683e-05×40589641000000     		ar = 9762.94965215462m²