Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12269 / 20350
↖ ↑ ↗
← S 39.892880°
W 45.208740°		 ← 937.30 m → S 39.892880°
W 45.197754°		 →
↑
937.24 m
↓
↑
937.24 m
↓
S 39.901309°
W 45.208740°		 ← 937.18 m →
878 416 m²		 S 39.901309°
W 45.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374435424804688 y=0.621047973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374435424804688 × 215)
    floor (0.374435424804688 × 32768)
    floor (12269.5)     		tx = 12269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621047973632812 × 215)
    floor (0.621047973632812 × 32768)
    floor (20350.5)     		ty = 20350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12269 / 20350 ti = "15/12269/20350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12269/20350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12269 ÷ 215
    12269 ÷ 32768     		x = 0.374420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20350 ÷ 215
    20350 ÷ 32768     		y = 0.62103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.25115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78904137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62103271484375 × 2 - 1) × π
    -0.2420654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.760470975572571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78904137} λ = -0.78904137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760470975572571))-π/2
    2×atan(0.467446219406948)-π/2
    2×0.437267112224381-π/2
    0.874534224448762-1.57079632675     		φ = -0.69626210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78904137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.208740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69626210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.892880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12269 KachelY 20350 -0.78904137 -0.69626210 -45.208740 -39.892880
    Oben rechts KachelX + 1 12270 KachelY 20350 -0.78884962 -0.69626210 -45.197754 -39.892880
    Unten links KachelX 12269 KachelY + 1 20351 -0.78904137 -0.69640921 -45.208740 -39.901309
    Unten rechts KachelX + 1 12270 KachelY + 1 20351 -0.78884962 -0.69640921 -45.197754 -39.901309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69626210--0.69640921) × R
    0.000147110000000006 × 6371000     		dl = 937.237810000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69626210--0.69640921) × R
    0.000147110000000006 × 6371000     		dr = 937.237810000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78904137--0.78884962) × cos(-0.69626210) × R
    0.000191749999999935 × 0.767244859828497 × 6371000     		do = 937.296435126922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78904137--0.78884962) × cos(-0.69640921) × R
    0.000191749999999935 × 0.767150501897154 × 6371000     		du = 937.181163774445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69626210)-sin(-0.69640921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767244859828497-0.767150501897154)×R²
    abs(-0.78884962--0.78904137)×9.43579313427145e-05×R²
    0.000191749999999935×9.43579313427145e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.43579313427145e-05×40589641000000     		ar = 878415.641428242m²