Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122689 / 26837
↖ ↑ ↗
← N 72.217907°
E156.975403°		 ← 93.28 m → N 72.217907°
E156.978149°		 →
↑
93.27 m
↓
↑
93.27 m
↓
N 72.217068°
E156.975403°		 ← 93.28 m →
8 700 m²		 N 72.217068°
E156.978149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936046600341797 y=0.204753875732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936046600341797 × 217)
    floor (0.936046600341797 × 131072)
    floor (122689.5)     		tx = 122689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204753875732422 × 217)
    floor (0.204753875732422 × 131072)
    floor (26837.5)     		ty = 26837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122689 / 26837 ti = "17/122689/26837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122689/26837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122689 ÷ 217
    122689 ÷ 131072     		x = 0.936042785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26837 ÷ 217
    26837 ÷ 131072     		y = 0.204750061035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.936042785644531 × 2 - 1) × π
    0.872085571289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.73973762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204750061035156 × 2 - 1) × π
    0.590499877929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.85511007839655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73973762} λ = 2.73973762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85511007839655))-π/2
    2×atan(6.39240187724191)-π/2
    2×1.41561829463135-π/2
    2.83123658926269-1.57079632675     		φ = 1.26044026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73973762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.975403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26044026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.217907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122689 KachelY 26837 2.73973762 1.26044026 156.975403 72.217907
    Oben rechts KachelX + 1 122690 KachelY 26837 2.73978556 1.26044026 156.978149 72.217907
    Unten links KachelX 122689 KachelY + 1 26838 2.73973762 1.26042562 156.975403 72.217068
    Unten rechts KachelX + 1 122690 KachelY + 1 26838 2.73978556 1.26042562 156.978149 72.217068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26044026-1.26042562) × R
    1.46400000000657e-05 × 6371000     		dl = 93.2714400004187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26044026-1.26042562) × R
    1.46400000000657e-05 × 6371000     		dr = 93.2714400004187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73973762-2.73978556) × cos(1.26044026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30539771145997 × 6371000     		do = 93.2763220169066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73973762-2.73978556) × cos(1.26042562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.305411651999606 × 6371000     		du = 93.2805798165409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26044026)-sin(1.26042562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30539771145997-0.305411651999606)×R²
    abs(2.73978556-2.73973762)×1.39405396358816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39405396358816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39405396358816e-05×40589641000000     		ar = 8700.21543813141m²