Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122674 / 26834
↖ ↑ ↗
← N 72.220424°
E156.934204°		 ← 93.26 m → N 72.220424°
E156.936951°		 →
↑
93.27 m
↓
↑
93.27 m
↓
N 72.219585°
E156.934204°		 ← 93.27 m →
8 699 m²		 N 72.219585°
E156.936951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935932159423828 y=0.204730987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935932159423828 × 217)
    floor (0.935932159423828 × 131072)
    floor (122674.5)     		tx = 122674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204730987548828 × 217)
    floor (0.204730987548828 × 131072)
    floor (26834.5)     		ty = 26834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122674 / 26834 ti = "17/122674/26834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122674/26834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122674 ÷ 217
    122674 ÷ 131072     		x = 0.935928344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26834 ÷ 217
    26834 ÷ 131072     		y = 0.204727172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935928344726562 × 2 - 1) × π
    0.871856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73901857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204727172851562 × 2 - 1) × π
    0.590545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85525388909541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73901857} λ = 2.73901857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85525388909541))-π/2
    2×atan(6.39332123912873)-π/2
    2×1.41564025285681-π/2
    2.83128050571362-1.57079632675     		φ = 1.26048418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73901857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.934204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26048418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.220424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122674 KachelY 26834 2.73901857 1.26048418 156.934204 72.220424
    Oben rechts KachelX + 1 122675 KachelY 26834 2.73906651 1.26048418 156.936951 72.220424
    Unten links KachelX 122674 KachelY + 1 26835 2.73901857 1.26046954 156.934204 72.219585
    Unten rechts KachelX + 1 122675 KachelY + 1 26835 2.73906651 1.26046954 156.936951 72.219585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26048418-1.26046954) × R
    1.46399999998437e-05 × 6371000     		dl = 93.271439999004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26048418-1.26046954) × R
    1.46399999998437e-05 × 6371000     		dr = 93.271439999004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73901857-2.73906651) × cos(1.26048418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30535588944834 × 6371000     		do = 93.2635484980562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73901857-2.73906651) × cos(1.26046954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.305369830184334 × 6371000     		du = 93.2678063576633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26048418)-sin(1.26046954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30535588944834-0.305369830184334)×R²
    abs(2.73906651-2.73901857)×1.39407359940891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39407359940891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39407359940891e-05×40589641000000     		ar = 8699.02403626366m²