Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12267 / 12635
↖ ↑ ↗
← S 69.372574°
E 89.538574°		 ← 860.72 m → S 69.372574°
E 89.560547°		 →
↑
860.53 m
↓
↑
860.53 m
↓
S 69.380313°
E 89.538574°		 ← 860.41 m →
740 543 m²		 S 69.380313°
E 89.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748748779296875 y=0.771209716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748748779296875 × 214)
    floor (0.748748779296875 × 16384)
    floor (12267.5)     		tx = 12267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771209716796875 × 214)
    floor (0.771209716796875 × 16384)
    floor (12635.5)     		ty = 12635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12267 / 12635 ti = "14/12267/12635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12267/12635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12267 ÷ 214
    12267 ÷ 16384     		x = 0.74871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12635 ÷ 214
    12635 ÷ 16384     		y = 0.77117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74871826171875 × 2 - 1) × π
    0.4974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56274293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77117919921875 × 2 - 1) × π
    -0.5423583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70386916009528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56274293} λ = 1.56274293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70386916009528))-π/2
    2×atan(0.181978057912217)-π/2
    2×0.180008255495723-π/2
    0.360016510991447-1.57079632675     		φ = -1.21077982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56274293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.538574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21077982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.372574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12267 KachelY 12635 1.56274293 -1.21077982 89.538574 -69.372574
    Oben rechts KachelX + 1 12268 KachelY 12635 1.56312642 -1.21077982 89.560547 -69.372574
    Unten links KachelX 12267 KachelY + 1 12636 1.56274293 -1.21091489 89.538574 -69.380313
    Unten rechts KachelX + 1 12268 KachelY + 1 12636 1.56312642 -1.21091489 89.560547 -69.380313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21077982--1.21091489) × R
    0.000135070000000015 × 6371000     		dl = 860.530970000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21077982--1.21091489) × R
    0.000135070000000015 × 6371000     		dr = 860.530970000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56274293-1.56312642) × cos(-1.21077982) × R
    0.000383489999999931 × 0.352289681884009 × 6371000     		do = 860.719361143251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56274293-1.56312642) × cos(-1.21091489) × R
    0.000383489999999931 × 0.352163267872288 × 6371000     		du = 860.410504560151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21077982)-sin(-1.21091489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352289681884009-0.352163267872288)×R²
    abs(1.56312642-1.56274293)×0.000126414011721254×R²
    0.000383489999999931×0.000126414011721254×6371000²
    0.000383489999999931×0.000126414011721254×40589641000000     		ar = 740542.777539914m²