Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12266 / 12650
↖ ↑ ↗
← S 69.488372°
E 89.516601°		 ← 856.12 m → S 69.488372°
E 89.538574°		 →
↑
855.94 m
↓
↑
855.94 m
↓
S 69.496070°
E 89.516601°		 ← 855.81 m →
732 658 m²		 S 69.496070°
E 89.538574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748687744140625 y=0.772125244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748687744140625 × 214)
    floor (0.748687744140625 × 16384)
    floor (12266.5)     		tx = 12266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772125244140625 × 214)
    floor (0.772125244140625 × 16384)
    floor (12650.5)     		ty = 12650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12266 / 12650 ti = "14/12266/12650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12266/12650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12266 ÷ 214
    12266 ÷ 16384     		x = 0.7486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12650 ÷ 214
    12650 ÷ 16384     		y = 0.7720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7486572265625 × 2 - 1) × π
    0.497314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56235943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70962158804968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56235943} λ = 1.56235943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70962158804968))-π/2
    2×atan(0.180934247345679)-π/2
    2×0.178997718295938-π/2
    0.357995436591876-1.57079632675     		φ = -1.21280089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56235943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.516601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21280089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.488372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12266 KachelY 12650 1.56235943 -1.21280089 89.516601 -69.488372
    Oben rechts KachelX + 1 12267 KachelY 12650 1.56274293 -1.21280089 89.538574 -69.488372
    Unten links KachelX 12266 KachelY + 1 12651 1.56235943 -1.21293524 89.516601 -69.496070
    Unten rechts KachelX + 1 12267 KachelY + 1 12651 1.56274293 -1.21293524 89.538574 -69.496070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21280089--1.21293524) × R
    0.00013434999999995 × 6371000     		dl = 855.94384999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21280089--1.21293524) × R
    0.00013434999999995 × 6371000     		dr = 855.94384999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56235943-1.56274293) × cos(-1.21280089) × R
    0.00038349999999987 × 0.350397462428099 × 6371000     		do = 856.118586404841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56235943-1.56274293) × cos(-1.21293524) × R
    0.00038349999999987 × 0.350271626908526 × 6371000     		du = 855.811135185334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21280089)-sin(-1.21293524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350397462428099-0.350271626908526)×R²
    abs(1.56274293-1.56235943)×0.000125835519572348×R²
    0.00038349999999987×0.000125835519572348×6371000²
    0.00038349999999987×0.000125835519572348×40589641000000     		ar = 732657.859516244m²