Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122657 / 28193
↖ ↑ ↗
← N 71.044637°
E156.887512°		 ← 99.21 m → N 71.044637°
E156.890259°		 →
↑
99.26 m
↓
↑
99.26 m
↓
N 71.043744°
E156.887512°		 ← 99.22 m →
9 848 m²		 N 71.043744°
E156.890259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935802459716797 y=0.215099334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935802459716797 × 217)
    floor (0.935802459716797 × 131072)
    floor (122657.5)     		tx = 122657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215099334716797 × 217)
    floor (0.215099334716797 × 131072)
    floor (28193.5)     		ty = 28193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122657 / 28193 ti = "17/122657/28193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122657/28193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122657 ÷ 217
    122657 ÷ 131072     		x = 0.935798645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28193 ÷ 217
    28193 ÷ 131072     		y = 0.215095520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935798645019531 × 2 - 1) × π
    0.871597290039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.73820364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215095520019531 × 2 - 1) × π
    0.569808959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.79010764251176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73820364} λ = 2.73820364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79010764251176))-π/2
    2×atan(5.99009722079151)-π/2
    2×1.40537957621845-π/2
    2.8107591524369-1.57079632675     		φ = 1.23996283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73820364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.887512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23996283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.044637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122657 KachelY 28193 2.73820364 1.23996283 156.887512 71.044637
    Oben rechts KachelX + 1 122658 KachelY 28193 2.73825158 1.23996283 156.890259 71.044637
    Unten links KachelX 122657 KachelY + 1 28194 2.73820364 1.23994725 156.887512 71.043744
    Unten rechts KachelX + 1 122658 KachelY + 1 28194 2.73825158 1.23994725 156.890259 71.043744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23996283-1.23994725) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dl = 99.2601800008031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23996283-1.23994725) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dr = 99.2601800008031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73820364-2.73825158) × cos(1.23996283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324831439005657 × 6371000     		do = 99.2118826335026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73820364-2.73825158) × cos(1.23994725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324846174092841 × 6371000     		du = 99.2163831084098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23996283)-sin(1.23994725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324831439005657-0.324846174092841)×R²
    abs(2.73825158-2.73820364)×1.47350871841923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47350871841923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47350871841923e-05×40589641000000     		ar = 9848.01268762788m²