Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122657 / 28191
↖ ↑ ↗
← N 71.046421°
E156.887512°		 ← 99.20 m → N 71.046421°
E156.890259°		 →
↑
99.20 m
↓
↑
99.20 m
↓
N 71.045529°
E156.887512°		 ← 99.21 m →
9 841 m²		 N 71.045529°
E156.890259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935802459716797 y=0.215084075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935802459716797 × 217)
    floor (0.935802459716797 × 131072)
    floor (122657.5)     		tx = 122657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215084075927734 × 217)
    floor (0.215084075927734 × 131072)
    floor (28191.5)     		ty = 28191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122657 / 28191 ti = "17/122657/28191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122657/28191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122657 ÷ 217
    122657 ÷ 131072     		x = 0.935798645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28191 ÷ 217
    28191 ÷ 131072     		y = 0.215080261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935798645019531 × 2 - 1) × π
    0.871597290039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.73820364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215080261230469 × 2 - 1) × π
    0.569839477539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.790203516311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73820364} λ = 2.73820364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.790203516311))-π/2
    2×atan(5.99067154170061)-π/2
    2×1.40539514692479-π/2
    2.81079029384957-1.57079632675     		φ = 1.23999397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73820364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.887512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23999397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.046421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122657 KachelY 28191 2.73820364 1.23999397 156.887512 71.046421
    Oben rechts KachelX + 1 122658 KachelY 28191 2.73825158 1.23999397 156.890259 71.046421
    Unten links KachelX 122657 KachelY + 1 28192 2.73820364 1.23997840 156.887512 71.045529
    Unten rechts KachelX + 1 122658 KachelY + 1 28192 2.73825158 1.23997840 156.890259 71.045529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23999397-1.23997840) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dl = 99.1964699997756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23999397-1.23997840) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dr = 99.1964699997756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73820364-2.73825158) × cos(1.23999397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324801987510388 × 6371000     		do = 99.2028873887659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73820364-2.73825158) × cos(1.23997840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324816713297394 × 6371000     		du = 99.2073850231594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23999397)-sin(1.23997840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324801987510388-0.324816713297394)×R²
    abs(2.73825158-2.73820364)×1.47257870063422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47257870063422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47257870063422e-05×40589641000000     		ar = 9840.79931760217m²