Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12265 / 20312
↖ ↑ ↗
← S 39.571822°
W 45.252686°		 ← 941.67 m → S 39.571822°
W 45.241699°		 →
↑
941.57 m
↓
↑
941.57 m
↓
S 39.580290°
W 45.252686°		 ← 941.56 m →
886 596 m²		 S 39.580290°
W 45.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374313354492188 y=0.619888305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374313354492188 × 215)
    floor (0.374313354492188 × 32768)
    floor (12265.5)     		tx = 12265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619888305664062 × 215)
    floor (0.619888305664062 × 32768)
    floor (20312.5)     		ty = 20312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12265 / 20312 ti = "15/12265/20312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12265/20312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12265 ÷ 215
    12265 ÷ 32768     		x = 0.374298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20312 ÷ 215
    20312 ÷ 32768     		y = 0.619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.25140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78980836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.753184566830322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78980836} λ = -0.78980836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753184566830322))-π/2
    2×atan(0.470864662589462)-π/2
    2×0.440068868877967-π/2
    0.880137737755934-1.57079632675     		φ = -0.69065859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78980836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.252686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69065859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.571822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12265 KachelY 20312 -0.78980836 -0.69065859 -45.252686 -39.571822
    Oben rechts KachelX + 1 12266 KachelY 20312 -0.78961661 -0.69065859 -45.241699 -39.571822
    Unten links KachelX 12265 KachelY + 1 20313 -0.78980836 -0.69080638 -45.252686 -39.580290
    Unten rechts KachelX + 1 12266 KachelY + 1 20313 -0.78961661 -0.69080638 -45.241699 -39.580290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69065859--0.69080638) × R
    0.000147790000000092 × 6371000     		dl = 941.570090000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69065859--0.69080638) × R
    0.000147790000000092 × 6371000     		dr = 941.570090000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78980836--0.78961661) × cos(-0.69065859) × R
    0.000191749999999935 × 0.770826630744151 × 6371000     		do = 941.672067061993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78980836--0.78961661) × cos(-0.69080638) × R
    0.000191749999999935 × 0.770732473448887 × 6371000     		du = 941.557040814424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69065859)-sin(-0.69080638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770826630744151-0.770732473448887)×R²
    abs(-0.78961661--0.78980836)×9.41572952644076e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41572952644076e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41572952644076e-05×40589641000000     		ar = 886596.101911846m²