Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122646 / 26807
↖ ↑ ↗
← N 72.243054°
E156.857300°		 ← 93.13 m → N 72.243054°
E156.860046°		 →
↑
93.14 m
↓
↑
93.14 m
↓
N 72.242217°
E156.857300°		 ← 93.13 m →
8 675 m²		 N 72.242217°
E156.860046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935718536376953 y=0.204524993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935718536376953 × 217)
    floor (0.935718536376953 × 131072)
    floor (122646.5)     		tx = 122646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204524993896484 × 217)
    floor (0.204524993896484 × 131072)
    floor (26807.5)     		ty = 26807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122646 / 26807 ti = "17/122646/26807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122646/26807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122646 ÷ 217
    122646 ÷ 131072     		x = 0.935714721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26807 ÷ 217
    26807 ÷ 131072     		y = 0.204521179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935714721679688 × 2 - 1) × π
    0.871429443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.73767634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204521179199219 × 2 - 1) × π
    0.590957641601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.85654818538515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73767634} λ = 2.73767634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85654818538515))-π/2
    2×atan(6.40160144845384)-π/2
    2×1.41583774162439-π/2
    2.83167548324878-1.57079632675     		φ = 1.26087916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73767634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.857300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26087916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.243054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122646 KachelY 26807 2.73767634 1.26087916 156.857300 72.243054
    Oben rechts KachelX + 1 122647 KachelY 26807 2.73772427 1.26087916 156.860046 72.243054
    Unten links KachelX 122646 KachelY + 1 26808 2.73767634 1.26086454 156.857300 72.242217
    Unten rechts KachelX + 1 122647 KachelY + 1 26808 2.73772427 1.26086454 156.860046 72.242217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26087916-1.26086454) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dl = 93.1440199997784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26087916-1.26086454) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dr = 93.1440199997784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73767634-2.73772427) × cos(1.26087916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.304979750555057 × 6371000     		do = 93.1292357384428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73767634-2.73772427) × cos(1.26086454) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.304993674008639 × 6371000     		du = 93.1334874324933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26087916)-sin(1.26086454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304979750555057-0.304993674008639)×R²
    abs(2.73772427-2.73767634)×1.39234535821431e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.39234535821431e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.39234535821431e-05×40589641000000     		ar = 8674.62940608196m²