Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122642 / 26810
↖ ↑ ↗
← N 72.240541°
E156.846313°		 ← 93.16 m → N 72.240541°
E156.849060°		 →
↑
93.14 m
↓
↑
93.14 m
↓
N 72.239703°
E156.846313°		 ← 93.17 m →
8 678 m²		 N 72.239703°
E156.849060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935688018798828 y=0.204547882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935688018798828 × 217)
    floor (0.935688018798828 × 131072)
    floor (122642.5)     		tx = 122642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204547882080078 × 217)
    floor (0.204547882080078 × 131072)
    floor (26810.5)     		ty = 26810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122642 / 26810 ti = "17/122642/26810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122642/26810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122642 ÷ 217
    122642 ÷ 131072     		x = 0.935684204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26810 ÷ 217
    26810 ÷ 131072     		y = 0.204544067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935684204101562 × 2 - 1) × π
    0.871368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73748459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204544067382812 × 2 - 1) × π
    0.590911865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85640437468629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73748459} λ = 2.73748459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85640437468629))-π/2
    2×atan(6.40068089586996)-π/2
    2×1.41581581044682-π/2
    2.83163162089363-1.57079632675     		φ = 1.26083529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73748459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.846313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26083529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.240541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122642 KachelY 26810 2.73748459 1.26083529 156.846313 72.240541
    Oben rechts KachelX + 1 122643 KachelY 26810 2.73753253 1.26083529 156.849060 72.240541
    Unten links KachelX 122642 KachelY + 1 26811 2.73748459 1.26082067 156.846313 72.239703
    Unten rechts KachelX + 1 122643 KachelY + 1 26811 2.73753253 1.26082067 156.849060 72.239703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26083529-1.26082067) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dl = 93.1440199997784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26083529-1.26082067) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dr = 93.1440199997784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73748459-2.73753253) × cos(1.26083529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.305021530243683 × 6371000     		do = 93.1614265905482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73748459-2.73753253) × cos(1.26082067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30503545350164 × 6371000     		du = 93.1656791119128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26083529)-sin(1.26082067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305021530243683-0.30503545350164)×R²
    abs(2.73753253-2.73748459)×1.39232579565163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39232579565163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39232579565163e-05×40589641000000     		ar = 8677.62783020196m²