Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 122641 / 26809
↖ ↑ ↗
← N 72.241379°
E156.843567°		 ← 93.16 m → N 72.241379°
E156.846313°		 →
↑
93.21 m
↓
↑
93.21 m
↓
N 72.240541°
E156.843567°		 ← 93.16 m →
8 683 m²		 N 72.240541°
E156.846313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935680389404297 y=0.204540252685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935680389404297 × 217)
    floor (0.935680389404297 × 131072)
    floor (122641.5)     		tx = 122641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204540252685547 × 217)
    floor (0.204540252685547 × 131072)
    floor (26809.5)     		ty = 26809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122641 / 26809 ti = "17/122641/26809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122641/26809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122641 ÷ 217
    122641 ÷ 131072     		x = 0.935676574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26809 ÷ 217
    26809 ÷ 131072     		y = 0.204536437988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935676574707031 × 2 - 1) × π
    0.871353149414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.73743665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204536437988281 × 2 - 1) × π
    0.590927124023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.85645231158591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73743665} λ = 2.73743665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85645231158591))-π/2
    2×atan(6.40098773202189)-π/2
    2×1.41582312117308-π/2
    2.83164624234617-1.57079632675     		φ = 1.26084992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73743665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.843567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26084992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.241379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122641 KachelY 26809 2.73743665 1.26084992 156.843567 72.241379
    Oben rechts KachelX + 1 122642 KachelY 26809 2.73748459 1.26084992 156.846313 72.241379
    Unten links KachelX 122641 KachelY + 1 26810 2.73743665 1.26083529 156.843567 72.240541
    Unten rechts KachelX + 1 122642 KachelY + 1 26810 2.73748459 1.26083529 156.846313 72.240541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26084992-1.26083529) × R
    1.46300000001265e-05 × 6371000     		dl = 93.2077300008058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26084992-1.26083529) × R
    1.46300000001265e-05 × 6371000     		dr = 93.2077300008058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73743665-2.73748459) × cos(1.26084992) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.305007597397031 × 6371000     		do = 93.157171141412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73743665-2.73748459) × cos(1.26083529) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.305021530243683 × 6371000     		du = 93.1614265914112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26084992)-sin(1.26083529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305007597397031-0.305021530243683)×R²
    abs(2.73748459-2.73743665)×1.39328466525201e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.39328466525201e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.39328466525201e-05×40589641000000     		ar = 8683.1667757936m²