Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12263 / 20357
↖ ↑ ↗
← S 39.951859°
W 45.274658°		 ← 936.44 m → S 39.951859°
W 45.263672°		 →
↑
936.41 m
↓
↑
936.41 m
↓
S 39.960280°
W 45.274658°		 ← 936.33 m →
876 838 m²		 S 39.960280°
W 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374252319335938 y=0.621261596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374252319335938 × 215)
    floor (0.374252319335938 × 32768)
    floor (12263.5)     		tx = 12263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621261596679688 × 215)
    floor (0.621261596679688 × 32768)
    floor (20357.5)     		ty = 20357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12263 / 20357 ti = "15/12263/20357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12263/20357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12263 ÷ 215
    12263 ÷ 32768     		x = 0.374237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20357 ÷ 215
    20357 ÷ 32768     		y = 0.621246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.25152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79019185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.24249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.761813208761932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79019185} λ = -0.79019185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761813208761932))-π/2
    2×atan(0.46681921846189)-π/2
    2×0.436752423124803-π/2
    0.873504846249607-1.57079632675     		φ = -0.69729148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79019185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.274658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69729148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.951859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12263 KachelY 20357 -0.79019185 -0.69729148 -45.274658 -39.951859
    Oben rechts KachelX + 1 12264 KachelY 20357 -0.79000011 -0.69729148 -45.263672 -39.951859
    Unten links KachelX 12263 KachelY + 1 20358 -0.79019185 -0.69743846 -45.274658 -39.960280
    Unten rechts KachelX + 1 12264 KachelY + 1 20358 -0.79000011 -0.69743846 -45.263672 -39.960280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69729148--0.69743846) × R
    0.000146980000000019 × 6371000     		dl = 936.409580000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69729148--0.69743846) × R
    0.000146980000000019 × 6371000     		dr = 936.409580000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79019185--0.79000011) × cos(-0.69729148) × R
    0.000191739999999996 × 0.766584256171053 × 6371000     		do = 936.440576687632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79019185--0.79000011) × cos(-0.69743846) × R
    0.000191739999999996 × 0.766489865604712 × 6371000     		du = 936.325271480583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69729148)-sin(-0.69743846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766584256171053-0.766489865604712)×R²
    abs(-0.79000011--0.79019185)×9.4390566341418e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4390566341418e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4390566341418e-05×40589641000000     		ar = 876837.942239777m²