Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122621 / 27391
↖ ↑ ↗
← N 71.747292°
E156.788635°		 ← 95.66 m → N 71.747292°
E156.791382°		 →
↑
95.63 m
↓
↑
95.63 m
↓
N 71.746432°
E156.788635°		 ← 95.67 m →
9 148 m²		 N 71.746432°
E156.791382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935527801513672 y=0.208980560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935527801513672 × 217)
    floor (0.935527801513672 × 131072)
    floor (122621.5)     		tx = 122621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208980560302734 × 217)
    floor (0.208980560302734 × 131072)
    floor (27391.5)     		ty = 27391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122621 / 27391 ti = "17/122621/27391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122621/27391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122621 ÷ 217
    122621 ÷ 131072     		x = 0.935523986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27391 ÷ 217
    27391 ÷ 131072     		y = 0.208976745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935523986816406 × 2 - 1) × π
    0.871047973632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.73647791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208976745605469 × 2 - 1) × π
    0.582046508789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.82855303600704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73647791} λ = 2.73647791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82855303600704))-π/2
    2×atan(6.22487297180638)-π/2
    2×1.41151140071425-π/2
    2.82302280142851-1.57079632675     		φ = 1.25222647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73647791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.788635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25222647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.747292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122621 KachelY 27391 2.73647791 1.25222647 156.788635 71.747292
    Oben rechts KachelX + 1 122622 KachelY 27391 2.73652585 1.25222647 156.791382 71.747292
    Unten links KachelX 122621 KachelY + 1 27392 2.73647791 1.25221146 156.788635 71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 122622 KachelY + 1 27392 2.73652585 1.25221146 156.791382 71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25222647-1.25221146) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dl = 95.6287100002389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25222647-1.25221146) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dr = 95.6287100002389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73647791-2.73652585) × cos(1.25222647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313208696802723 × 6371000     		do = 95.6619979953446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73647791-2.73652585) × cos(1.25221146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 95.6663517557026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25222647)-sin(1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313208696802723-0.313222951529119)×R²
    abs(2.73652585-2.73647791)×1.42547263959902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42547263959902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42547263959902e-05×40589641000000     		ar = 9148.24163669347m²