Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12262 / 20601
↖ ↑ ↗
← S 41.975827°
W 45.285644°		 ← 908.20 m → S 41.975827°
W 45.274658°		 →
↑
908.12 m
↓
↑
908.12 m
↓
S 41.983994°
W 45.285644°		 ← 908.08 m →
824 704 m²		 S 41.983994°
W 45.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374221801757812 y=0.628707885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374221801757812 × 215)
    floor (0.374221801757812 × 32768)
    floor (12262.5)     		tx = 12262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628707885742188 × 215)
    floor (0.628707885742188 × 32768)
    floor (20601.5)     		ty = 20601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12262 / 20601 ti = "15/12262/20601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12262/20601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12262 ÷ 215
    12262 ÷ 32768     		x = 0.37420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20601 ÷ 215
    20601 ÷ 32768     		y = 0.628692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.2515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79038360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.25738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.808599622791107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79038360} λ = -0.79038360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808599622791107))-π/2
    2×atan(0.445481471719619)-π/2
    2×0.419089967429393-π/2
    0.838179934858786-1.57079632675     		φ = -0.73261639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79038360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.285644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73261639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.975827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12262 KachelY 20601 -0.79038360 -0.73261639 -45.285644 -41.975827
    Oben rechts KachelX + 1 12263 KachelY 20601 -0.79019185 -0.73261639 -45.274658 -41.975827
    Unten links KachelX 12262 KachelY + 1 20602 -0.79038360 -0.73275893 -45.285644 -41.983994
    Unten rechts KachelX + 1 12263 KachelY + 1 20602 -0.79019185 -0.73275893 -45.274658 -41.983994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73261639--0.73275893) × R
    0.000142540000000024 × 6371000     		dl = 908.122340000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73261639--0.73275893) × R
    0.000142540000000024 × 6371000     		dr = 908.122340000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79038360--0.79019185) × cos(-0.73261639) × R
    0.000191749999999935 × 0.743427062748227 × 6371000     		do = 908.199679365139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79038360--0.79019185) × cos(-0.73275893) × R
    0.000191749999999935 × 0.743331722018585 × 6371000     		du = 908.083207387685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73261639)-sin(-0.73275893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743427062748227-0.743331722018585)×R²
    abs(-0.79019185--0.79038360)×9.53407296417907e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53407296417907e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53407296417907e-05×40589641000000     		ar = 824703.534006155m²