Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12262 / 12646
↖ ↑ ↗
← S 69.457554°
E 89.428711°		 ← 857.35 m → S 69.457554°
E 89.450684°		 →
↑
857.22 m
↓
↑
857.22 m
↓
S 69.465263°
E 89.428711°		 ← 857.04 m →
734 803 m²		 S 69.465263°
E 89.450684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748443603515625 y=0.771881103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748443603515625 × 214)
    floor (0.748443603515625 × 16384)
    floor (12262.5)     		tx = 12262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771881103515625 × 214)
    floor (0.771881103515625 × 16384)
    floor (12646.5)     		ty = 12646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12262 / 12646 ti = "14/12262/12646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12262/12646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12262 ÷ 214
    12262 ÷ 16384     		x = 0.7484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12646 ÷ 214
    12646 ÷ 16384     		y = 0.7718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7484130859375 × 2 - 1) × π
    0.496826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56082545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56082545} λ = 1.56082545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70808760726184))-π/2
    2×atan(0.181212009991784)-π/2
    2×0.179266662924463-π/2
    0.358533325848926-1.57079632675     		φ = -1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56082545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12262 KachelY 12646 1.56082545 -1.21226300 89.428711 -69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 12263 KachelY 12646 1.56120895 -1.21226300 89.450684 -69.457554
    Unten links KachelX 12262 KachelY + 1 12647 1.56082545 -1.21239755 89.428711 -69.465263
    Unten rechts KachelX + 1 12263 KachelY + 1 12647 1.56120895 -1.21239755 89.450684 -69.465263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21226300--1.21239755) × R
    0.000134549999999845 × 6371000     		dl = 857.218049999009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21226300--1.21239755) × R
    0.000134549999999845 × 6371000     		dr = 857.218049999009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56082545-1.56120895) × cos(-1.21226300) × R
    0.00038349999999987 × 0.350901200079368 × 6371000     		do = 857.349357777827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56082545-1.56120895) × cos(-1.21239755) × R
    0.00038349999999987 × 0.350775202603175 × 6371000     		du = 857.041510853191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21226300)-sin(-1.21239755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350901200079368-0.350775202603175)×R²
    abs(1.56120895-1.56082545)×0.000125997476192796×R²
    0.00038349999999987×0.000125997476192796×6371000²
    0.00038349999999987×0.000125997476192796×40589641000000     		ar = 734803.39978064m²