Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12261 / 12646
S 69.457554°
E 89.406738°
← 857.33 m → S 69.457554°
E 89.428711°

857.22 m

857.22 m
S 69.465263°
E 89.406738°
← 857.02 m →
734 784 m²
S 69.465263°
E 89.428711°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748382568359375 y=0.771881103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748382568359375 × 214)
    floor (0.748382568359375 × 16384)
    floor (12261.5)
    tx = 12261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771881103515625 × 214)
    floor (0.771881103515625 × 16384)
    floor (12646.5)
    ty = 12646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12261 / 12646 ti = "14/12261/12646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12261/12646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12261 ÷ 214
    12261 ÷ 16384
    x = 0.74835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12646 ÷ 214
    12646 ÷ 16384
    y = 0.7718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.74835205078125 × 2 - 1) × π
    0.4967041015625 × 3.1415926535
    Λ = 1.56044196
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.543701171875 × 3.1415926535
    Φ = -1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56044196} λ = 1.56044196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70808760726184))-π/2
    2×atan(0.181212009991784)-π/2
    2×0.179266662924463-π/2
    0.358533325848926-1.57079632675
    φ = -1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56044196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.406738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12261 KachelY 12646 1.56044196 -1.21226300 89.406738 -69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 12262 KachelY 12646 1.56082545 -1.21226300 89.428711 -69.457554
    Unten links KachelX 12261 KachelY + 1 12647 1.56044196 -1.21239755 89.406738 -69.465263
    Unten rechts KachelX + 1 12262 KachelY + 1 12647 1.56082545 -1.21239755 89.428711 -69.465263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.21226300--1.21239755) × R
    0.000134549999999845 × 6371000
    dl = 857.218049999009m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.21226300--1.21239755) × R
    0.000134549999999845 × 6371000
    dr = 857.218049999009m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.56044196-1.56082545) × cos(-1.21226300) × R
    0.000383490000000153 × 0.350901200079368 × 6371000
    do = 857.327001863002m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.56044196-1.56082545) × cos(-1.21239755) × R
    0.000383490000000153 × 0.350775202603175 × 6371000
    du = 857.019162965665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.21226300)-sin(-1.21239755))×
    abs(λ12)×abs(0.350901200079368-0.350775202603175)×
    abs(1.56082545-1.56044196)×0.000125997476192796×
    0.000383490000000153×0.000125997476192796×6371000²
    0.000383490000000153×0.000125997476192796×40589641000000
    ar = 734784.239327472m²