Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12260 / 20588
↖ ↑ ↗
← S 41.869561°
W 45.307617°		 ← 909.71 m → S 41.869561°
W 45.296631°		 →
↑
909.65 m
↓
↑
909.65 m
↓
S 41.877741°
W 45.307617°		 ← 909.60 m →
827 469 m²		 S 41.877741°
W 45.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374160766601562 y=0.628311157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374160766601562 × 215)
    floor (0.374160766601562 × 32768)
    floor (12260.5)     		tx = 12260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628311157226562 × 215)
    floor (0.628311157226562 × 32768)
    floor (20588.5)     		ty = 20588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12260 / 20588 ti = "15/12260/20588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12260/20588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12260 ÷ 215
    12260 ÷ 32768     		x = 0.3741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20588 ÷ 215
    20588 ÷ 32768     		y = 0.6282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.256591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806106904010864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79076710} λ = -0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806106904010864))-π/2
    2×atan(0.446593316933429)-π/2
    2×0.420017317008479-π/2
    0.840034634016959-1.57079632675     		φ = -0.73076169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73076169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.869561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12260 KachelY 20588 -0.79076710 -0.73076169 -45.307617 -41.869561
    Oben rechts KachelX + 1 12261 KachelY 20588 -0.79057535 -0.73076169 -45.296631 -41.869561
    Unten links KachelX 12260 KachelY + 1 20589 -0.79076710 -0.73090447 -45.307617 -41.877741
    Unten rechts KachelX + 1 12261 KachelY + 1 20589 -0.79057535 -0.73090447 -45.296631 -41.877741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73076169--0.73090447) × R
    0.000142780000000009 × 6371000     		dl = 909.651380000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73076169--0.73090447) × R
    0.000142780000000009 × 6371000     		dr = 909.651380000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79076710--0.79057535) × cos(-0.73076169) × R
    0.000191749999999935 × 0.744666238297177 × 6371000     		do = 909.713504853377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79076710--0.79057535) × cos(-0.73090447) × R
    0.000191749999999935 × 0.744570934047443 × 6371000     		du = 909.59707744121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73076169)-sin(-0.73090447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744666238297177-0.744570934047443)×R²
    abs(-0.79057535--0.79076710)×9.53042497343626e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53042497343626e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53042497343626e-05×40589641000000     		ar = 827469.192322154m²