Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12260 / 12618
↖ ↑ ↗
← S 69.240578°
E 89.384766°		 ← 866.01 m → S 69.240578°
E 89.406738°		 →
↑
865.88 m
↓
↑
865.88 m
↓
S 69.248366°
E 89.384766°		 ← 865.70 m →
749 726 m²		 S 69.248366°
E 89.406738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748321533203125 y=0.770172119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748321533203125 × 214)
    floor (0.748321533203125 × 16384)
    floor (12260.5)     		tx = 12260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770172119140625 × 214)
    floor (0.770172119140625 × 16384)
    floor (12618.5)     		ty = 12618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12260 / 12618 ti = "14/12260/12618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12260/12618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12260 ÷ 214
    12260 ÷ 16384     		x = 0.748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12618 ÷ 214
    12618 ÷ 16384     		y = 0.7701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748291015625 × 2 - 1) × π
    0.49658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56005846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.540283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69734974174695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56005846} λ = 1.56005846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69734974174695))-π/2
    2×atan(0.183168324709758)-π/2
    2×0.181160126880301-π/2
    0.362320253760601-1.57079632675     		φ = -1.20847607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56005846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20847607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.240578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12260 KachelY 12618 1.56005846 -1.20847607 89.384766 -69.240578
    Oben rechts KachelX + 1 12261 KachelY 12618 1.56044196 -1.20847607 89.406738 -69.240578
    Unten links KachelX 12260 KachelY + 1 12619 1.56005846 -1.20861198 89.384766 -69.248366
    Unten rechts KachelX + 1 12261 KachelY + 1 12619 1.56044196 -1.20861198 89.406738 -69.248366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20847607--1.20861198) × R
    0.000135910000000017 × 6371000     		dl = 865.882610000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20847607--1.20861198) × R
    0.000135910000000017 × 6371000     		dr = 865.882610000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56005846-1.56044196) × cos(-1.20847607) × R
    0.00038349999999987 × 0.354444804041246 × 6371000     		do = 866.007369150396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56005846-1.56044196) × cos(-1.20861198) × R
    0.00038349999999987 × 0.354317714461359 × 6371000     		du = 865.696853912284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20847607)-sin(-1.20861198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354444804041246-0.354317714461359)×R²
    abs(1.56044196-1.56005846)×0.000127089579886996×R²
    0.00038349999999987×0.000127089579886996×6371000²
    0.00038349999999987×0.000127089579886996×40589641000000     		ar = 749726.287359502m²