Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1226 / 1042
↖ ↑ ↗
← N 65.874725°
W 72.246094°		 ← 3 994.54 m → N 65.874725°
W 72.158203°		 →
↑
3 997.36 m
↓
↑
3 997.36 m
↓
N 65.838776°
W 72.246094°		 ← 4 000.14 m →
15 978 797 m²		 N 65.838776°
W 72.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2994384765625 y=0.2545166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2994384765625 × 212)
    floor (0.2994384765625 × 4096)
    floor (1226.5)     		tx = 1226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2545166015625 × 212)
    floor (0.2545166015625 × 4096)
    floor (1042.5)     		ty = 1042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1226 / 1042 ti = "12/1226/1042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1226/1042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1226 ÷ 212
    1226 ÷ 4096     		x = 0.29931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1042 ÷ 212
    1042 ÷ 4096     		y = 0.25439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.29931640625 × 2 - 1) × π
    -0.4013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.26093221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25439453125 × 2 - 1) × π
    0.4912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54318467256885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.26093221} λ = -1.26093221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54318467256885))-π/2
    2×atan(4.67946914326195)-π/2
    2×1.36026358306515-π/2
    2.7205271661303-1.57079632675     		φ = 1.14973084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.26093221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14973084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.874725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1226 KachelY 1042 -1.26093221 1.14973084 -72.246094 65.874725
    Oben rechts KachelX + 1 1227 KachelY 1042 -1.25939823 1.14973084 -72.158203 65.874725
    Unten links KachelX 1226 KachelY + 1 1043 -1.26093221 1.14910341 -72.246094 65.838776
    Unten rechts KachelX + 1 1227 KachelY + 1 1043 -1.25939823 1.14910341 -72.158203 65.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14973084-1.14910341) × R
    0.000627429999999984 × 6371000     		dl = 3997.3565299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14973084-1.14910341) × R
    0.000627429999999984 × 6371000     		dr = 3997.3565299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.26093221--1.25939823) × cos(1.14973084) × R
    0.00153398000000005 × 0.408733105626485 × 6371000     		do = 3994.54315608948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.26093221--1.25939823) × cos(1.14910341) × R
    0.00153398000000005 × 0.409305651609581 × 6371000     		du = 4000.13864029871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14973084)-sin(1.14910341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408733105626485-0.409305651609581)×R²
    abs(-1.25939823--1.26093221)×0.000572545983095807×R²
    0.00153398000000005×0.000572545983095807×6371000²
    0.00153398000000005×0.000572545983095807×40589641000000     		ar = 15978797.2662326m²