Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12258 / 20582
↖ ↑ ↗
← S 41.820455°
W 45.329590°		 ← 910.41 m → S 41.820455°
W 45.318603°		 →
↑
910.29 m
↓
↑
910.29 m
↓
S 41.828642°
W 45.329590°		 ← 910.30 m →
828 685 m²		 S 41.828642°
W 45.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374099731445312 y=0.628128051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374099731445312 × 215)
    floor (0.374099731445312 × 32768)
    floor (12258.5)     		tx = 12258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628128051757812 × 215)
    floor (0.628128051757812 × 32768)
    floor (20582.5)     		ty = 20582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12258 / 20582 ti = "15/12258/20582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12258/20582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12258 ÷ 215
    12258 ÷ 32768     		x = 0.37408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20582 ÷ 215
    20582 ÷ 32768     		y = 0.62811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.2518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79115059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.2562255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.804956418419983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79115059} λ = -0.79115059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804956418419983))-π/2
    2×atan(0.447107411782198)-π/2
    2×0.420445845350976-π/2
    0.840891690701952-1.57079632675     		φ = -0.72990464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79115059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72990464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.820455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12258 KachelY 20582 -0.79115059 -0.72990464 -45.329590 -41.820455
    Oben rechts KachelX + 1 12259 KachelY 20582 -0.79095884 -0.72990464 -45.318603 -41.820455
    Unten links KachelX 12258 KachelY + 1 20583 -0.79115059 -0.73004752 -45.329590 -41.828642
    Unten rechts KachelX + 1 12259 KachelY + 1 20583 -0.79095884 -0.73004752 -45.318603 -41.828642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72990464--0.73004752) × R
    0.000142879999999956 × 6371000     		dl = 910.288479999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72990464--0.73004752) × R
    0.000142879999999956 × 6371000     		dr = 910.288479999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79115059--0.79095884) × cos(-0.72990464) × R
    0.000191749999999935 × 0.745237991645035 × 6371000     		do = 910.411981184439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79115059--0.79095884) × cos(-0.73004752) × R
    0.000191749999999935 × 0.745142711858469 × 6371000     		du = 910.295583657438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72990464)-sin(-0.73004752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745237991645035-0.745142711858469)×R²
    abs(-0.79095884--0.79115059)×9.52797865662047e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52797865662047e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52797865662047e-05×40589641000000     		ar = 828684.562271974m²