Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122576 / 28112
↖ ↑ ↗
← N 71.116771°
E156.665039°		 ← 98.85 m → N 71.116771°
E156.667786°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
N 71.115881°
E156.665039°		 ← 98.85 m →
9 774 m²		 N 71.115881°
E156.667786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935184478759766 y=0.214481353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935184478759766 × 217)
    floor (0.935184478759766 × 131072)
    floor (122576.5)     		tx = 122576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214481353759766 × 217)
    floor (0.214481353759766 × 131072)
    floor (28112.5)     		ty = 28112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122576 / 28112 ti = "17/122576/28112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122576/28112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122576 ÷ 217
    122576 ÷ 131072     		x = 0.9351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28112 ÷ 217
    28112 ÷ 131072     		y = 0.2144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9351806640625 × 2 - 1) × π
    0.870361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73432075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2144775390625 × 2 - 1) × π
    0.571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79399053138098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73432075} λ = 2.73432075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79399053138098))-π/2
    2×atan(6.01340131694417)-π/2
    2×1.40600906170335-π/2
    2.81201812340671-1.57079632675     		φ = 1.24122180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73432075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24122180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.116771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122576 KachelY 28112 2.73432075 1.24122180 156.665039 71.116771
    Oben rechts KachelX + 1 122577 KachelY 28112 2.73436869 1.24122180 156.667786 71.116771
    Unten links KachelX 122576 KachelY + 1 28113 2.73432075 1.24120628 156.665039 71.115881
    Unten rechts KachelX + 1 122577 KachelY + 1 28113 2.73436869 1.24120628 156.667786 71.115881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24122180-1.24120628) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dl = 98.8779199988823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24122180-1.24120628) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dr = 98.8779199988823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73432075-2.73436869) × cos(1.24122180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323640483408607 × 6371000     		do = 98.8481341389668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73432075-2.73436869) × cos(1.24120628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323655168085239 × 6371000     		du = 98.8526192171937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24122180)-sin(1.24120628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323640483408607-0.323655168085239)×R²
    abs(2.73436869-2.73432075)×1.46846766316822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46846766316822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46846766316822e-05×40589641000000     		ar = 9774.11963724794m²