Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122566 / 26946
↖ ↑ ↗
← N 72.126251°
E156.637574°		 ← 93.72 m → N 72.126251°
E156.640320°		 →
↑
93.78 m
↓
↑
93.78 m
↓
N 72.125407°
E156.637574°		 ← 93.73 m →
8 790 m²		 N 72.125407°
E156.640320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935108184814453 y=0.205585479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935108184814453 × 217)
    floor (0.935108184814453 × 131072)
    floor (122566.5)     		tx = 122566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205585479736328 × 217)
    floor (0.205585479736328 × 131072)
    floor (26946.5)     		ty = 26946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122566 / 26946 ti = "17/122566/26946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122566/26946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122566 ÷ 217
    122566 ÷ 131072     		x = 0.935104370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26946 ÷ 217
    26946 ÷ 131072     		y = 0.205581665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935104370117188 × 2 - 1) × π
    0.870208740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.73384139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205581665039062 × 2 - 1) × π
    0.588836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84988495633797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73384139} λ = 2.73384139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84988495633797))-π/2
    2×atan(6.35908790775871)-π/2
    2×1.41481843662478-π/2
    2.82963687324956-1.57079632675     		φ = 1.25884055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73384139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.637574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25884055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.126251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122566 KachelY 26946 2.73384139 1.25884055 156.637574 72.126251
    Oben rechts KachelX + 1 122567 KachelY 26946 2.73388932 1.25884055 156.640320 72.126251
    Unten links KachelX 122566 KachelY + 1 26947 2.73384139 1.25882583 156.637574 72.125407
    Unten rechts KachelX + 1 122567 KachelY + 1 26947 2.73388932 1.25882583 156.640320 72.125407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25884055-1.25882583) × R
    1.47200000000236e-05 × 6371000     		dl = 93.7811200001504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25884055-1.25882583) × R
    1.47200000000236e-05 × 6371000     		dr = 93.7811200001504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73384139-2.73388932) × cos(1.25884055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.306920603718985 × 6371000     		do = 93.7218986005122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73384139-2.73388932) × cos(1.25882583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.306934613226733 × 6371000     		du = 93.7261765722375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25884055)-sin(1.25882583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306920603718985-0.306934613226733)×R²
    abs(2.73388932-2.73384139)×1.40095077482139e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40095077482139e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40095077482139e-05×40589641000000     		ar = 8789.54521597111m²