Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122565 / 26945
↖ ↑ ↗
← N 72.127093°
E156.634827°		 ← 93.74 m → N 72.127093°
E156.637574°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 72.126251°
E156.634827°		 ← 93.74 m →
8 785 m²		 N 72.126251°
E156.637574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935100555419922 y=0.205577850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935100555419922 × 217)
    floor (0.935100555419922 × 131072)
    floor (122565.5)     		tx = 122565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205577850341797 × 217)
    floor (0.205577850341797 × 131072)
    floor (26945.5)     		ty = 26945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122565 / 26945 ti = "17/122565/26945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122565/26945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122565 ÷ 217
    122565 ÷ 131072     		x = 0.935096740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26945 ÷ 217
    26945 ÷ 131072     		y = 0.205574035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935096740722656 × 2 - 1) × π
    0.870193481445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.73379345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205574035644531 × 2 - 1) × π
    0.588851928710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.84993289323759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73379345} λ = 2.73379345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84993289323759))-π/2
    2×atan(6.35939275002396)-π/2
    2×1.41482579286814-π/2
    2.82965158573627-1.57079632675     		φ = 1.25885526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73379345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.634827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25885526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.127093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122565 KachelY 26945 2.73379345 1.25885526 156.634827 72.127093
    Oben rechts KachelX + 1 122566 KachelY 26945 2.73384139 1.25885526 156.637574 72.127093
    Unten links KachelX 122565 KachelY + 1 26946 2.73379345 1.25884055 156.634827 72.126251
    Unten rechts KachelX + 1 122566 KachelY + 1 26946 2.73384139 1.25884055 156.637574 72.126251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25885526-1.25884055) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dl = 93.7174100005376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25885526-1.25884055) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dr = 93.7174100005376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73379345-2.73384139) × cos(1.25885526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30690660366213 × 6371000     		do = 93.7371765343313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73379345-2.73384139) × cos(1.25884055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306920603718985 × 6371000     		du = 93.7414525120563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25885526)-sin(1.25884055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30690660366213-0.306920603718985)×R²
    abs(2.73384139-2.73379345)×1.40000568549237e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40000568549237e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40000568549237e-05×40589641000000     		ar = 8785.00577238269m²