Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122564 / 26936
↖ ↑ ↗
← N 72.134678°
E156.632080°		 ← 93.70 m → N 72.134678°
E156.634827°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 72.133835°
E156.632080°		 ← 93.70 m →
8 781 m²		 N 72.133835°
E156.634827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935092926025391 y=0.205509185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935092926025391 × 217)
    floor (0.935092926025391 × 131072)
    floor (122564.5)     		tx = 122564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205509185791016 × 217)
    floor (0.205509185791016 × 131072)
    floor (26936.5)     		ty = 26936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122564 / 26936 ti = "17/122564/26936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122564/26936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122564 ÷ 217
    122564 ÷ 131072     		x = 0.935089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26936 ÷ 217
    26936 ÷ 131072     		y = 0.20550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935089111328125 × 2 - 1) × π
    0.87017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73374551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20550537109375 × 2 - 1) × π
    0.5889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85036432533417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73374551} λ = 2.73374551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85036432533417))-π/2
    2×atan(6.36213698810471)-π/2
    2×1.41489198395757-π/2
    2.82978396791514-1.57079632675     		φ = 1.25898764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73374551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.632080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25898764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.134678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122564 KachelY 26936 2.73374551 1.25898764 156.632080 72.134678
    Oben rechts KachelX + 1 122565 KachelY 26936 2.73379345 1.25898764 156.634827 72.134678
    Unten links KachelX 122564 KachelY + 1 26937 2.73374551 1.25897293 156.632080 72.133835
    Unten rechts KachelX + 1 122565 KachelY + 1 26937 2.73379345 1.25897293 156.634827 72.133835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25898764-1.25897293) × R
    1.47099999998623e-05 × 6371000     		dl = 93.7174099991229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25898764-1.25897293) × R
    1.47099999998623e-05 × 6371000     		dr = 93.7174099991229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73374551-2.73379345) × cos(1.25898764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306780609680166 × 6371000     		do = 93.6986947291543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73374551-2.73379345) × cos(1.25897293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306794610334554 × 6371000     		du = 93.7029708893812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25898764)-sin(1.25897293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306780609680166-0.306794610334554)×R²
    abs(2.73379345-2.73374551)×1.40006543878912e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40006543878912e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40006543878912e-05×40589641000000     		ar = 8781.39936573052m²