Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122562 / 26938
↖ ↑ ↗
← N 72.132993°
E156.626587°		 ← 93.69 m → N 72.132993°
E156.629333°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 72.132150°
E156.626587°		 ← 93.69 m →
8 780 m²		 N 72.132150°
E156.629333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935077667236328 y=0.205524444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935077667236328 × 217)
    floor (0.935077667236328 × 131072)
    floor (122562.5)     		tx = 122562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205524444580078 × 217)
    floor (0.205524444580078 × 131072)
    floor (26938.5)     		ty = 26938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122562 / 26938 ti = "17/122562/26938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122562/26938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122562 ÷ 217
    122562 ÷ 131072     		x = 0.935073852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26938 ÷ 217
    26938 ÷ 131072     		y = 0.205520629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935073852539062 × 2 - 1) × π
    0.870147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73364964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205520629882812 × 2 - 1) × π
    0.588958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85026845153493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73364964} λ = 2.73364964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85026845153493))-π/2
    2×atan(6.36152705509914)-π/2
    2×1.41487727717534-π/2
    2.82975455435068-1.57079632675     		φ = 1.25895823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73364964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.626587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25895823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.132993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122562 KachelY 26938 2.73364964 1.25895823 156.626587 72.132993
    Oben rechts KachelX + 1 122563 KachelY 26938 2.73369757 1.25895823 156.629333 72.132993
    Unten links KachelX 122562 KachelY + 1 26939 2.73364964 1.25894352 156.626587 72.132150
    Unten rechts KachelX + 1 122563 KachelY + 1 26939 2.73369757 1.25894352 156.629333 72.132150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25895823-1.25894352) × R
    1.47099999998623e-05 × 6371000     		dl = 93.7174099991229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25895823-1.25894352) × R
    1.47099999998623e-05 × 6371000     		dr = 93.7174099991229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73364964-2.73369757) × cos(1.25895823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.306808601404844 × 6371000     		do = 93.6876973465014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73364964-2.73369757) × cos(1.25894352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.306822601926503 × 6371000     		du = 93.6919725742162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25895823)-sin(1.25894352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306808601404844-0.306822601926503)×R²
    abs(2.73369757-2.73364964)×1.40005216590633e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40005216590633e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40005216590633e-05×40589641000000     		ar = 8780.36867581739m²