Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122561 / 26939
↖ ↑ ↗
← N 72.132150°
E156.623840°		 ← 93.71 m → N 72.132150°
E156.626587°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 72.131308°
E156.623840°		 ← 93.72 m →
8 783 m²		 N 72.131308°
E156.626587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935070037841797 y=0.205532073974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935070037841797 × 217)
    floor (0.935070037841797 × 131072)
    floor (122561.5)     		tx = 122561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205532073974609 × 217)
    floor (0.205532073974609 × 131072)
    floor (26939.5)     		ty = 26939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122561 / 26939 ti = "17/122561/26939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122561/26939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122561 ÷ 217
    122561 ÷ 131072     		x = 0.935066223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26939 ÷ 217
    26939 ÷ 131072     		y = 0.205528259277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935066223144531 × 2 - 1) × π
    0.870132446289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.73360170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205528259277344 × 2 - 1) × π
    0.588943481445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.85022051463531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73360170} λ = 2.73360170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85022051463531))-π/2
    2×atan(6.36122211052438)-π/2
    2×1.41486992328096-π/2
    2.82973984656192-1.57079632675     		φ = 1.25894352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73360170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.623840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25894352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.132150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122561 KachelY 26939 2.73360170 1.25894352 156.623840 72.132150
    Oben rechts KachelX + 1 122562 KachelY 26939 2.73364964 1.25894352 156.626587 72.132150
    Unten links KachelX 122561 KachelY + 1 26940 2.73360170 1.25892881 156.623840 72.131308
    Unten rechts KachelX + 1 122562 KachelY + 1 26940 2.73364964 1.25892881 156.626587 72.131308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25894352-1.25892881) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dl = 93.7174100005376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25894352-1.25892881) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dr = 93.7174100005376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73360170-2.73364964) × cos(1.25894352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306822601926503 × 6371000     		do = 93.7115202420662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73360170-2.73364964) × cos(1.25892881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306836602381771 × 6371000     		du = 93.7157963414766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25894352)-sin(1.25892881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306822601926503-0.306836602381771)×R²
    abs(2.73364964-2.73360170)×1.40004552677264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40004552677264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40004552677264e-05×40589641000000     		ar = 8782.60133687885m²