Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122560 / 26940
↖ ↑ ↗
← N 72.131308°
E156.621094°		 ← 93.72 m → N 72.131308°
E156.623840°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 72.130465°
E156.621094°		 ← 93.72 m →
8 783 m²		 N 72.130465°
E156.623840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935062408447266 y=0.205539703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935062408447266 × 217)
    floor (0.935062408447266 × 131072)
    floor (122560.5)     		tx = 122560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205539703369141 × 217)
    floor (0.205539703369141 × 131072)
    floor (26940.5)     		ty = 26940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122560 / 26940 ti = "17/122560/26940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122560/26940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122560 ÷ 217
    122560 ÷ 131072     		x = 0.93505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26940 ÷ 217
    26940 ÷ 131072     		y = 0.205535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93505859375 × 2 - 1) × π
    0.8701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73355376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205535888671875 × 2 - 1) × π
    0.58892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85017257773569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73355376} λ = 2.73355376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85017257773569))-π/2
    2×atan(6.36091718056736)-π/2
    2×1.41486256905106-π/2
    2.82972513810211-1.57079632675     		φ = 1.25892881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73355376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25892881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.131308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122560 KachelY 26940 2.73355376 1.25892881 156.621094 72.131308
    Oben rechts KachelX + 1 122561 KachelY 26940 2.73360170 1.25892881 156.623840 72.131308
    Unten links KachelX 122560 KachelY + 1 26941 2.73355376 1.25891410 156.621094 72.130465
    Unten rechts KachelX + 1 122561 KachelY + 1 26941 2.73360170 1.25891410 156.623840 72.130465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25892881-1.25891410) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dl = 93.7174100005376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25892881-1.25891410) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dr = 93.7174100005376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73355376-2.73360170) × cos(1.25892881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306836602381771 × 6371000     		do = 93.7157963414766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73355376-2.73360170) × cos(1.25891410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.306850602770644 × 6371000     		du = 93.7200724206085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25892881)-sin(1.25891410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306836602381771-0.306850602770644)×R²
    abs(2.73360170-2.73355376)×1.40003888731699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40003888731699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40003888731699e-05×40589641000000     		ar = 8783.00208099027m²