Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122558 / 28103
↖ ↑ ↗
← N 71.124769°
E156.615601°		 ← 98.81 m → N 71.124769°
E156.618347°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
N 71.123880°
E156.615601°		 ← 98.81 m →
9 764 m²		 N 71.123880°
E156.618347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935047149658203 y=0.214412689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935047149658203 × 217)
    floor (0.935047149658203 × 131072)
    floor (122558.5)     		tx = 122558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214412689208984 × 217)
    floor (0.214412689208984 × 131072)
    floor (28103.5)     		ty = 28103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122558 / 28103 ti = "17/122558/28103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122558/28103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122558 ÷ 217
    122558 ÷ 131072     		x = 0.935043334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28103 ÷ 217
    28103 ÷ 131072     		y = 0.214408874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935043334960938 × 2 - 1) × π
    0.870086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73345789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214408874511719 × 2 - 1) × π
    0.571182250976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.79442196347756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73345789} λ = 2.73345789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79442196347756))-π/2
    2×atan(6.01599625101059)-π/2
    2×1.40607886190234-π/2
    2.81215772380468-1.57079632675     		φ = 1.24136140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73345789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.615601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24136140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.124769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122558 KachelY 28103 2.73345789 1.24136140 156.615601 71.124769
    Oben rechts KachelX + 1 122559 KachelY 28103 2.73350583 1.24136140 156.618347 71.124769
    Unten links KachelX 122558 KachelY + 1 28104 2.73345789 1.24134589 156.615601 71.123880
    Unten rechts KachelX + 1 122559 KachelY + 1 28104 2.73350583 1.24134589 156.618347 71.123880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24136140-1.24134589) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dl = 98.8142099992695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24136140-1.24134589) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dr = 98.8142099992695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73345789-2.73350583) × cos(1.24136140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323508393509377 × 6371000     		do = 98.8077904837478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73345789-2.73350583) × cos(1.24134589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323523069424875 × 6371000     		du = 98.8122728860991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24136140)-sin(1.24134589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323508393509377-0.323523069424875)×R²
    abs(2.73350583-2.73345789)×1.46759154986409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46759154986409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46759154986409e-05×40589641000000     		ar = 9763.83522129012m²