Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122557 / 28150
↖ ↑ ↗
← N 71.082963°
E156.612854°		 ← 99.02 m → N 71.082963°
E156.615601°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
N 71.082072°
E156.612854°		 ← 99.02 m →
9 804 m²		 N 71.082072°
E156.615601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935039520263672 y=0.214771270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935039520263672 × 217)
    floor (0.935039520263672 × 131072)
    floor (122557.5)     		tx = 122557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214771270751953 × 217)
    floor (0.214771270751953 × 131072)
    floor (28150.5)     		ty = 28150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122557 / 28150 ti = "17/122557/28150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122557/28150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122557 ÷ 217
    122557 ÷ 131072     		x = 0.935035705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28150 ÷ 217
    28150 ÷ 131072     		y = 0.214767456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935035705566406 × 2 - 1) × π
    0.870071411132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.73340995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214767456054688 × 2 - 1) × π
    0.570465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79216892919542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73340995} λ = 2.73340995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79216892919542))-π/2
    2×atan(6.00245726284524)-π/2
    2×1.40571403543632-π/2
    2.81142807087263-1.57079632675     		φ = 1.24063174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73340995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.612854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24063174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.082963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122557 KachelY 28150 2.73340995 1.24063174 156.612854 71.082963
    Oben rechts KachelX + 1 122558 KachelY 28150 2.73345789 1.24063174 156.615601 71.082963
    Unten links KachelX 122557 KachelY + 1 28151 2.73340995 1.24061620 156.612854 71.082072
    Unten rechts KachelX + 1 122558 KachelY + 1 28151 2.73345789 1.24061620 156.615601 71.082072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24063174-1.24061620) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dl = 99.0053399995225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24063174-1.24061620) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dr = 99.0053399995225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73340995-2.73345789) × cos(1.24063174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324198730082353 × 6371000     		do = 99.0186370423979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73340995-2.73345789) × cos(1.24061620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324213430712228 × 6371000     		du = 99.0231269931559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24063174)-sin(1.24061620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324198730082353-0.324213430712228)×R²
    abs(2.73345789-2.73340995)×1.47006298750196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47006298750196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47006298750196e-05×40589641000000     		ar = 9803.59609136656m²